Vijfdegraadsvergelijking

In de wiskunde is een vijfdegraadsvergelijking een vergelijking waarin een polynoom van de graad vijf gelijk wordt gesteld aan nul. Een dergelijke vergelijking kan worden geschreven in de vorm

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0}$

waarin ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$ elementen zijn van een lichaam (Ned) / veld (Be), typisch de rationale getallen, de reële getallen of de complexe getallen en ${\displaystyle a\neq 0}$.

Het vinden van de wortels van een vijfdegraadsvergelijking – dat wil zeggen de waardes van ${\displaystyle x}$ die deze vergelijking oplossen – is in het rationale geval, gegeven de coëfficiënten, lang een bekend wiskundig probleem geweest.

Het oplossen van lineaire, kwadratische, derde- en vierdegraadsvergelijking vergelijkingen door factoriseren en het trekken van n^e-machtswortels is niet zo heel moeilijk, als de wortels rationaal of reëel zijn. Er bestaan ook formules die het gewenste resultaat geven als niet alle wortels reëel zijn. Nadat Girolamo Cardano in 1539 oplossingen voor vergelijkingen tot en met graad vier had gepubliceerd, concentreerden de wiskundigen zich op algemene oplossingen van de vijfdegraadsvergelijking. Vooral in de 17e en 18e eeuw hebben veel wiskundigen hun best gedaan een analytische oplossing voor een algemene vijfdegraadsvergelijking te vinden. Gianfrancesco Malfatti vond in 1771 als eerste een deeloplossing. Deze werkt alleen als factorisatie mogelijk is, zodat de oplossingen ${\displaystyle n}$^e-machtswortels zijn. Deze ${\displaystyle n}$^e-machtswortels werden in het verleden ook radicalen genoemd.

Het duurde even voor men erachter kwam dat er voor vijfdegraadsvergelijking geen algemene oplossing bestaat over de rationale getallen in termen van ${\displaystyle n}$^e-machtswortels. Paolo Ruffini leverde in 1799 al een nog niet helemaal correct bewijs, maar omdat hij daarbij de toen nog ongebruikelijke groepentheorie gebruikte werd zijn bewijs niet begrepen of geaccepteerd. Abel heeft een bewijs gegeven. Dit resultaat staat bekend als de stelling van Abel-Ruffini. Voor het eerst gepubliceerd in 1824 is het een van de eerste toepassingen van de groepentheorie in de algebra. De stelling geldt ook voor vergelijkingen polynomen van hogere graad.

Praktisch gezien zijn de analytische oplossingen van polynominale vergelijkingen vaak onnodig en zijn numerieke methoden zoals de methode van Laguerre methode of de Jenkins-Traub-methode vaak de beste manier om oplossingen voor algemene vijfdegraadsvergelijkingen te vinden. Analytische oplossingen zijn voor bepaalde toepassingen zeker nuttig.

Als de galoisgroep van een vijfdegraadsvergelijking niet oplosbaar is, zijn volgens de stelling van Abel-Ruffini de rekenkundige basisbewerkingen en wortelvormen niet voldoende om de oplossingen uitdrukkelijk voor te stellen. Bring in 1786 en Jerrard in 1834 toonden onafhankelijk van elkaar aan dat de algemene vijfdegraadsvergelijking kan herleid worden tot

${\displaystyle z^{5}+bz+c=0}$

door middel van een Tschirnhaustransformatie. Door herschaling kunnen we de Bring-Jerrardvorm nog herleiden tot de bijzondere vorm

${\displaystyle z^{5}+z-c}$

Hieruit volgt dat de algemene vijfdegraadsvergelijking kan worden opgelost door gebruik te maken van ultraradicalen, ook wel Bringradicalen genoemd: het ultraradicaal van een reëel getal ${\displaystyle a}$ is de unieke reële wortel van de veelterm^[1]

${\displaystyle t^{5}+t-a}$

Charles Hermite toonde in 1858 aan dat deze Bringradicalen kunnen worden gekarakteriseerd in termen van thetafuncties van Jacobi en de daaraan geassocieerde elliptische modulaire functies. Hij maakte gebruik van een aanpak die sterk leek op de bekendere aanpak om derdegraadsvergelijkingen op te lossen door gebruik te maken van goniometrische functies. Leopold Kronecker ontwikkelde ongeveer in hetzelfde decennium, gebruikmakend van groepentheorie, een eenvoudigere manier om tot Hermites resultaat te komen, net als Francesco Brioschi.

Later kwam Felix Klein met een bijzonder elegante methode die de symmetrieën van het regelmatige twintigvlak met de galoistheorie verbindt en de elliptisch modulaire functies die een rol spelen in Hermites oplossing. Klein gaf een verklaring waarom oplossingen voorkomen en hij ontwikkelde zijn eigen oplossing in termen van gegeneraliseerde hypermeetkundige functies.

In de hemelmechanica wordt de positie van sommige lagrangepunten van een planeetbaan beschreven door een vijfdegraadsvergelijking in de afstand van het lagrangepunt tot het kleinste hemellichaam.

• Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Œuvres de Charles Hermite, t.2, pp. 5-21, Gauthier-Villars, 1908.
• Felix Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, trans. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888, ISBN 0-486-49528-0.
• Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. LXVI, 1858 (1), pp. 1150-1152.
• Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics ${\displaystyle x^{5}+ax+b}$", American Mathematical Monthly, Vol. 101 (1994), pp. 986-992.
• Ian Stewart, Galois Theory 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989, ISBN 0-412-34550-1. Bespreekt Galois Theory in het algemeen inclusief een bewijs dat de algemene vijfdegraadsvergelijking niet oplosbaar is.
• Jörg Bewersdorff, Galois theory for beginners: A historical perspective, American Mathematical Society, 2006, ISBN 0-8218-3817-2. Chapter 8 (The solution of equations of the fifth degree) geeft een beschrijving van de oplossing van oplosbare vijfdegraadsvergelijkingen van de vorm ${\displaystyle x^{5}+cx+d}$.
• Victor S. Adamchik en David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard", ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 3, September 2003, pp. 90-94.
• Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation", ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 1, March 2003, pp. 1-3.
• Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004, ISBN 3-5404-3826-2.