Methode van Tschirnhaus

De methode van Tschirnhaus, in 1683 ontwikkeld door Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, is een methode om een vergelijking waarin een polynoom aan nul gelijk wordt gesteld, door een transformatie om te vormen tot een eenvoudigere vergelijking waarin een of meer coëfficiënten nul worden. Tschirnhaus schreef zijn ideeën in de Acta Eruditorum in het Latijn.

De graad van de vergelijking verandert daarbij niet, maar door de vereenvoudiging kan de vergelijking mogelijk worden opgelost. Tschirnhaus toonde aan dat een polynoom van graad $n>2$ kan worden gereduceerd tot een vorm waarin de termen met machten $n-1$ en $n-2$ van de variabele een coëfficiënt gelijk aan nul hebben. De oplossingsmethode voor de algemene derdegraadsvergelijking is een speciaal geval van de methode van Tschirnhaus. De methode voert niet tot een algemene oplossing voor vergelijkingen van graad vijf en hoger.

Transformatie

De $n$ -de-graadsvergelijking

x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0

,

wordt door een transformatie

y=c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\ldots +c_{1}x+c_{0}

in de vorm

y^{n}+b_{n-1}y^{n-1}+b_{n-2}y^{n-2}+b_{n-3}y^{n-3}+\ldots +b_{1}y+b_{0}=0

gebracht, waarin door een geschikte keuze van de $(c_{i})$ enige van de coëfficiënten $(b_{i})$ gelijk zijn aan 0. Het is steeds mogelijk de $(c_{i})$ zo te kiezen dat $b_{n-1}=b_{n-2}=0$ .

De lineaire transformatie

y=x+{\tfrac {1}{n}}a_{n-1}

heeft als gevolg dat

b_{n-1}=0

Websites

EW von Tschirnhaus. A method for removing all intermediate terms from a given equation, mei 1683. in Acta Eruditorum, blz 204–207. door RF Green uit het Latijn in het Engels vertaald, maart 2003. ACM SIGSAM Bulletin 37
R Garver. The Tschirnhaus transform, 1927-1928. in Annals of Mathematics 29, 1/4, blz 319–333