e (wiskunde)

Irrationale getallen: ζ(3) √2 √3 √5 φ e π
${\displaystyle e}$ uitgedrukt in verschillende getalstelsels
binair	10,1011 0111 1110 0001 0101…
decimaal	2,71828 18284 59045 23536 02874…[1]
hexadecimaal	2,B7E15 1628 AED2 A6AB…
als kettingbreuk	${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}$

In de wiskunde is het getal e, het getal van Euler, een wiskundige constante die het grondtal is van de natuurlijke logaritme. Het getal is gedefinieerd als:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

en heeft de benaderende waarde:

${\displaystyle e=2{,}718281828459\ldots }$

Het getal ${\displaystyle e}$ wordt ook de constante van Neper of Napier genoemd, naar de uitvinder van de logaritme, de wiskundige John Napier uit Schotland, die ${\displaystyle e}$ omstreeks 1594 tegenkwam bij zijn werk aan een van de eerste rekenlinialen. Het werd door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler het exponentiële getal genoemd, vandaar vermoedelijk deze letter. Euler maakte voor het eerst een grondige studie van ${\displaystyle e}$ en heeft in zijn eentje bijna alle belangrijke eigenschappen ervan ontdekt.

Logaritmen op basis van het getal 10 heten ook briggse logaritmen en natuurlijke logaritmen neperse logaritmen, genoemd naar John Napier.

Een redelijke benadering van ${\displaystyle e}$ is ${\displaystyle 19/7}$. Dit is op ongeveer een promille nauwkeurig.

Het getal ${\displaystyle e}$ is het grondtal voor de exponentiële functie, ook geschreven als ${\displaystyle e}$-macht, ${\displaystyle e^{x}}$ of ${\displaystyle \exp(x)}$. De natuurlijke logaritme ${\displaystyle \ln(x)}$ is de inverse van de exponentiële functie:

${\displaystyle y=e^{x}\Leftrightarrow x=\ln(y)}$

De exponentiële functie ${\displaystyle e^{x}}$ is de afgeleide van de exponentiële functie zelf.

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}e^{x}=e^{x}}$

De taylorreeks van de ${\displaystyle e}$-macht is:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Daaruit kan door de substitutie ${\displaystyle x=1}$ de volgende reeks voor ${\displaystyle e}$ worden gevonden:

${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$

Ter vergelijking staan hieronder de eerste 20 termen uit de definiërende rij en de eerste 20 partiële sommen van de bovenstaande reeks.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$	${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\ {\frac {1}{k!}}}$
1	2,00000000	2,00000000
2	2,25000000	2,50000000
3	2,37037037	2,66666667
4	2,44140625	2,70833333
5	2,48832000	2,71666667
6	2,52162637	2,71805556
7	2,54649970	2,71825397
8	2,56578451	2,71827877
9	2,58117479	2,71828153
10	2,59374246	2,71828180
11	2,60419901	2,71828183
12	2,61303529	2,71828183
13	2,62060089	2,71828183
14	2,62715156	2,71828183
15	2,63287872	2,71828183
16	2,63792850	2,71828183
17	2,64241438	2,71828183
18	2,64642582	2,71828183
19	2,65003433	2,71828183
20	2,65329771	2,71828183

Een benadering via de definiërende rij vergt ${\displaystyle n}$ vermenigvuldigingen. Via de benaderende reeks moeten ${\displaystyle n}$ termen worden opgeteld en voor elke volgende term is een vermenigvuldiging en een deling nodig, dus in totaal ${\displaystyle n}$ vermenigvuldigingen en ${\displaystyle n}$ delingen. Voor de nauwkeurigheid moet dus de rij voor ${\displaystyle 2n}$ met de reeks voor ${\displaystyle n}$ worden vergeleken. Toch zijn er in vergelijking met de rij voor de benadering met behulp van de reeks bij dezelfde nauwkeurigheid minder bewerkingen nodig. Het verschil tussen twee opeenvolgende termen in de lijst is een maat voor de nauwkeurigheid. Bij ${\displaystyle n=1000\ 000\ 000}$ doet de rij het nog altijd slechter dan de reeks bij ${\displaystyle n=12}$.

Johann Heinrich Lambert in 1761 en later ook Euler hebben bewezen dat het getal ${\displaystyle e}$ irrationaal is en Charles Hermite in 1873 dat het transcendent is.

Het getal ${\displaystyle e}$ is een belangrijke en veel voorkomende constante in de wiskunde. De identiteit van Euler legt een verband tussen de vijf belangrijkste wiskundige constanten en is door Richard Feynman in zijn Lectures on Physics, blz I-22-10 'de opmerkelijkste formule in de wiskunde' genoemd:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

Dit is een speciaal geval van de formule van Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}$

Hoewel Georg Cantor bewees dat er oneindig meer transcendente getallen, door sommige wiskundigen de donkere materie van de wiskunde genoemd, zijn dan andere soorten zoals de natuurlijke getallen is ${\displaystyle e}$ een van de weinige getallen waarvan is bewezen dat het transcendent is. Twee andere zijn π en de constante van Liouville met symbool ${\displaystyle L}$. Men weet nog steeds niet of met ${\displaystyle e\times \pi }$, ${\displaystyle e+\pi }$ en met andere elementaire bewerkingen een nieuw transcendent getal tevoorschijn komt. Een van de weinige gevallen is ${\displaystyle e^{\pi }}$, de constante van Gelfond, waarvan is bewezen dat het transcendent is.

Door bestudering van ${\displaystyle e}$ wist Alan Baker uit Cambridge nieuwe transcendente getallen te vinden waarvoor hij in 1970 de Fieldsmedaille heeft gekregen. Vanaf de jaren 1990 tot heden is er onder andere door Boris Zilber uit Oxford en Alain Connes grote vooruitgang geboekt met de studie van ${\displaystyle e}$ voor de theorievorming over transcendente getallen. Connes heeft voor zijn ontdekkingen ook de Fieldsmedaille ontvangen.