Identiteit van Euler

De identiteit van Euler, genoemd naar de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler 1707–1783, luidt:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

Het is een speciaal geval van de formule van Euler:

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)}$

π in deze vergelijking invullen voor ${\displaystyle x}$ geeft

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\cdot \sin(\pi )}$

${\displaystyle e^{i\pi }=-1+i\cdot 0}$

dus is

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

De identiteit van Euler wordt in navolging van Richard Feynman door wiskundigen wel De mooiste formule binnen de wiskunde genoemd, omdat zij zonder verdere opsmuk in zich herbergt:

• de twee natuurlijke getallen: 0 en 1,
• de drie wiskundige constanten: e, i en π en
• de drie wiskundige bewerkingen: optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen.

De Engelse wiskundige Roger Cotes 1682–1716 was van de identiteit van Euler op de hoogte. Euler was negen jaar oud toen Cotes kwam te overlijden. Het kan dat Johann Bernoulli 1667–1748, die net als Euler uit Zwitserland kwam, de vergelijking aan Euler heeft doorgegeven.