Slaterdeterminant

In de kwantummechanica is een slaterdeterminant een eenvoudige benaderde uitdrukking voor de golffuncties van multi-fermionsystemen, bijvoorbeeld moleculen die meer dan één elektron bevatten. De slaterdeterminant is door projectie met de antisymmetrisator verkregen uit één enkel produkt van spinorbitalen. Omdat de exacte golffunctie van een systeem van onafhankelijke — niet-wisselwerkende — deeltjes een produkt van één-deeltjes functies is, en orbitalen per definitie één-deeltjes-functies zijn, wordt een model dat de exacte golffunctie benadert met één slaterdeterminant, wel een onafhankelijk-deeltjes-model genoemd. De slaterdeterminant is de eenvoudigst mogelijke vorm van een meer-fermion golffunctie die voldoet aan het pauli-principe; dat wil zeggen, het is de eenvoudigst mogelijke antisymmetrische golffunctie. Antisymmetrie betekent dat een slaterdeterminant van teken verandert onder transpositie van de ruimte en spincoördinaten van een willekeurig fermionpaar (elektronenpaar).

Wiskundig gezien lijkt de slaterdeterminant sterk op de determinant van een vierkante matrix. In de plaats van getallen ${\displaystyle a_{ij}}$ staan spinorbitals ${\displaystyle \psi _{i}(j)}$, waar ${\displaystyle i}$ de spinorbitals en ${\displaystyle j}$ de coördinaten van de fermionen indiceert.

De slaterdeterminant is vernoemd naar zijn uitvinder, John C. Slater, die de constructie publiceerde als een eenvoudig antwoord op de ingewikkelde groepentheoretische constructies voor antisymmetrische golffuncties die in de jaren 1920 waren geïntroduceerd door Hermann Weyl en Eugene Wigner.^[1]

Bekijk een systeem met ${\displaystyle N=3}$ elektronen en drie lineair onafhankelijke spinorbitalen ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2},\psi _{3}}$. In determinantnotatie de slaterdeterminant ${\displaystyle \Phi }$ is:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (1,2,3)&={\begin{vmatrix}\psi _{1}(1)&\psi _{1}(2)&\psi _{1}(3)\\\psi _{2}(1)&\psi _{2}(2)&\psi _{2}(3)\\\psi _{3}(1)&\psi _{3}(2)&\psi _{3}(3)\\\end{vmatrix}}\\&=\psi _{1}(1){\big [}\psi _{2}(2)\psi _{3}(3)-\psi _{2}(3)\psi _{3}(2){\big ]}-\psi _{1}(2){\big [}\psi _{2}(1)\psi _{3}(3)-\psi _{2}(3)\psi _{3}(1){\big ]}+\psi _{1}(3){\big [}\psi _{2}(1)\psi _{3}(2)-\psi _{2}(2)\psi _{3}(1){\big ]}\\&=\left[{\hat {P}}_{(1)}-{\hat {P}}_{(2,3)}-{\hat {P}}_{(1,2)}+{\hat {P}}_{(1,2,3)}+{\hat {P}}_{(1,3,2)}-{\hat {P}}_{(1,3)}\right]\;\psi _{1}(1)\psi _{2}(2)\psi _{3}(3)\\&=3!\,{\mathcal {A}}\;\psi _{1}(1)\psi _{2}(2)\psi _{3}(3)\end{aligned}}}$

In de tweede regel van bovenstaande vergelijkingen werd de determinant ontwikkeld naar zijn eerste rij, in de derde regel werd de cykelnotatie voor permutaties van ruimte-spin elektroncoördinaten gebruikt en in de laatste regel werd de definitie van de antisymmetrisator ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ingevoerd.