Antisymmetrisator

In de kwantummechanica is een antisymmetrisator ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (ook bekend als antisymmetriserende operator^[1]) een lineaire operator die een golffunctie van N identieke fermionen antisymmetrisch maakt onder verwisseling van de coördinaten van een willekeurig paar fermionen. Na toepassing van ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ voldoet de golffunctie aan het Pauli-principe. Omdat ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ een projectieoperator is, heeft toepassing van de antisymmetrisator op een golffunctie die al geantisymmetriseerd is geen effect, of met andere woorden ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}}$ is gelijk aan ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Beschouw een golffunctie die afhankelijk is van de ruimte- en spincoördinaten van N fermionen:

${\displaystyle \Psi (1,2,\ldots ,N)\quad {\hbox{met}}\quad i\leftrightarrow (\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}),}$

waarbij de positievector ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ van fermion ${\displaystyle i}$ een vector in ℝ³ is. De spincoördinaat ${\displaystyle \sigma _{i}}$ kan 2s+1 waarden aannemen, waarbij s de halftallige spin van het fermion is. Voor elektronen is s = ½ en σ kan twee waarden aannemen ("spin-up": ½ en "spin-down": −½). De posities van de coördinaten in de notatie voor ${\displaystyle \Psi }$ hebben een welomschreven betekenis. Zo zal de 2-fermionfunctie ${\displaystyle \Psi (1,2)}$ over het algemeen niet dezelfde zijn als ${\displaystyle \Psi (2,1)}$. Daarom kan een transpositie-operator ${\displaystyle {\hat {P}}_{ij},}$ die de coördinaten van deeltje i en j verwisselt, worden gedefinieerd. Over het algemeen zal deze operator niet gelijk zijn aan de identiteitsoperator (hoewel dit in speciale gevallen wel het geval kan zijn).

Elke transpositie heeft de pariteit (ook wel signatuur genoemd) −1. Het Pauli-principe stelt dat een golffunctie van identieke fermionen een eigenfunctie van een transpositie-operator moet zijn met zijn pariteit als eigenwaarde:

${\displaystyle {\hat {P}}_{ij}\Psi {\big (}1,2,\ldots ,i,\ldots ,j,\ldots ,N{\big )}=\Psi {\big (}\pi (1),\pi (2),\ldots ,\pi (i),\ldots ,\pi (j),\ldots ,\pi (N){\big )}}$

${\displaystyle =\Psi (1,2,\ldots ,j,\ldots ,i,\ldots ,N)}$

${\displaystyle =-\Psi (1,2,\ldots ,i,\ldots ,j,\ldots ,N).}$

Hier is de transpositie-operator ${\displaystyle {\hat {P}}_{ij}}$ gekoppeld aan de permutatie van coördinaten ${\displaystyle \pi }$ die werkt op de verzameling van N coördinaten. In dit geval is ${\displaystyle \pi }$ = (ij), waarbij (ij) cykelnotatie is voor de transpositie van de coördinaten van deeltje i en j.

Transposities kunnen worden vermenigvuldigd (toepassen in volgorde van rechts naar links). Dit product van transposities is associatief. Het kan worden aangetoond dat een willekeurige permutatie van N objecten kan worden geschreven als een product van transposities en dat het aantal transposities in deze ontbinding een vaste pariteit heeft. Dat wil zeggen, ofwel een permutatie wordt altijd ontbonden in een even aantal transposities (de permutatie wordt even genoemd en heeft de pariteit +1), ofwel een permutatie wordt altijd ontbonden in een oneven aantal transposities en dan is het een oneven permutatie met pariteit −1. De pariteit van een willekeurige permutatie ${\displaystyle \pi }$ wordt genoteerd als ${\displaystyle (-1)^{\pi }}$. Hieruit volgt dat een antisymmetrische golffunctie voldoet aan

${\displaystyle {\hat {P}}\Psi {\big (}1,2,\ldots ,N{\big )}\equiv \Psi {\big (}\pi (1),\pi (2),\ldots ,\pi (N){\big )}=(-1)^{\pi }\Psi (1,2,\ldots ,N),}$

Hierin representeert de lineaire operator ${\displaystyle {\hat {P}}}$ de permutatie ${\displaystyle \pi }$. De verzameling van alle N! permutaties met het associatieve product: "pas de ene permutatie na de andere toe", is een groep, bekend als de permutatiegroep of (symmetrische groep), aangeduid met ${\displaystyle S_{N}}$. De antisymmetrisator is tenslotte

${\displaystyle {\mathcal {A}}\equiv {\frac {1}{N!}}\sum _{P\in S_{N}}(-1)^{\pi }{\hat {P}}.}$

De bekendste toepassing van de antisymmetrisator is in de constructie van een Slaterdeterminant ${\displaystyle \Phi (1,2,\ldots ,N)}$. In dat geval projecteert de operator een antisymmetrische functie uit een product van spinorbitalen ${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{N}}$:

${\displaystyle \Phi (1,\ldots ,N)={\mathcal {A}}\,\left[\psi _{1}(1)\psi _{2}(2)\cdots \psi _{N}(N)\right]}$.

De variationele Ansatz voor een golffunctie in de Hartree-Fock-methode is een Slaterdeterminant.