Morse-theorie

In de wiskunde, meer bepaald in de differentiaaltopologie, geven de technieken van de morse-theorie een directe manier om de topologie van een variëteit te analyseren door de gladde functies op die variëteit te bestuderen. Zo geeft de morse-theorie bijvoorbeeld een manier om handvatencomplexen (waaronder gesloten variëteiten) van een CW-structuur te voorzien om zo informatie over hun homologie te verkrijgen.

De morse-theorie is vernoemd naar Marston Morse, die in de jaren twintig en dertig onderzoek deed naar geodeten op Riemann-variëteiten door de kritieke punten van zekere functionalen te onderzoeken.^[1] De methoden van Morse waren dus in de eerste plaats variationeel en ze worden tegenwoordig onder de oneindigdimensionale morse-theorie gerekend.

Enkele belangrijke stellingen in de differentiaaltopologie maken in hun bewijs gebruik van morse-theorie, zoals de $h$ -cobordismestelling en het veralgemeende vermoeden van Poincaré in dimensie $\geq 5$ . Beide stellingen werden door Stephen Smale bewezen.^[2]

Inleidend voorbeeld

Het oppervlak $M$ , met de kritieke punten van $f$ en hun bijhorende kritieke waarden

Beschouw een oppervlak $M$ , ingebed in $\mathbb {R} ^{3}$ zoals op de figuur hiernaast. Merk op dat $M$ homeomorf is met de sfeer $\mathbb {S} ^{2}$ . Zij $f:M\longrightarrow \mathbb {R}$ de functie die een punt $p=(x,y,z)$ op haar hoogte $z$ afbeeldt.

De kritieke punten van $f$ zijn de punten van $M$ waar de raakruimte (het raakvlak) horizontaal is. De differentiaal van $f$ zal een raakvector $v=(v_{1},v_{2},v_{3})$ namelijk afbeelden op haar verticale component $v_{3}$ . Een punt $p$ is dus een kritiek punt voor $f$ als de verticale component van elke raakvector aan $p$ nul is, of nog, als de raakruimte aan $p$ horizontaal is. De functie $f$ heeft vier kritieke punten: een minimum op hoogte $0$ , een zadelpunt op hoogte ${\frac {1}{3}}$ en twee maxima op hoogte ${\frac {2}{3}}$ en $1$ .

Laat ons nu de deelruimten $M^{a}:=\left\{p\in M\mid f(p)\leq a\right\}$ , genaamd de subniveaus van $f$ , analyseren in functie van het getal $a$ . Merk op dat $M^{a}=\varnothing$ als $a<0$ en $M^{a}=M$ als $a\geq 1$ . De onderstaande figuur illustreert hoe $M^{a}$ verandert in functie van $a$ . Zo is bijvoorbeeld $M^{0}$ een punt (het minimum) en is $M^{a}\cong D^{2}$ als $0<a<{\frac {1}{3}}$ .

De subniveaus van f {\displaystyle f} in functie van a {\displaystyle a} — De subniveaus van $f$ in functie van $a$

De bovenstaande figuur illustreert een belangrijke eigenschap van $f$ , namelijk dat $M^{a}$ en $M^{b}$ homeomorf zijn (diffeomorf zelfs) wanneer er tussen $a$ en $b$ geen kritieke waarden van $f$ liggen. Bovendien zijn $M^{a}$ en $M^{b}$ niet homeomorf als er precies één kritiek punt is met een functiewaarde tussen $a$ en $b$ . Deze twee eigenschappen worden vaak samengevat in de volgende slogan:

De topologie van $M$ verandert alleen bij het passeren van een kritiek punt.

Eigenlijk behoort $f$ tot een speciale klasse functies, genaamd morse-functies (zie later), die allemaal deze eigenschappen hebben.

Een van de vragen die die morse-theorie beantwoordt is, wat er nu juist gebeurt met $M^{a}$ , wanneer $a$ een kritieke waarde van $f$ passeert.

Morse-functies

Zij $M$ telkens een $n$ -dimensionale variëteit en $f:M\longrightarrow \mathbb {R}$ een gladde functie. Een punt $p\in M$ is een kritiek punt van $f$ als de differentiaal van $f$ in het punt $p$ nul is: $df_{p}=0$ . Als $df_{p}\neq 0$ is $p$ een regulier punt van $f$ . Als $(U,(x_{1},\dots ,x_{n}))$ een kaart van $M$ is, is de hessiaan van $f$ in een punt $p\in U$ in de coördinaten $(x_{1},\dots ,x_{n})$ gedefinieerd als de matrix $d^{2}f_{p}:=\left({\frac {d^{2}f}{dx_{i}dx_{j}}}(p)\right)_{i,j=1}^{n}.$ Een kritiek punt $p$ van $f$ is niet-ontaard als de matrix $d^{2}f_{p}$ omkeerbaar is. Merk op dat de omkeerbaarheid van de hessiaan in een kritiek punt niet afhangt van de gekozen kaart, ook al hangt de hessian zelf wel van de kaart af. Het niet-ontaard zijn van een kritiek punt is dus goed gedefinieerd.

De index $\operatorname {ind} p$ van een kritiek punt $p$ van $f$ is het aantal negatieve eigenwaarden van $d^{2}f_{p}$ . De functie $f$ is een morse-functie als al haar kritieke punten niet-ontaard zijn.

Het lemma van Morse

Marston Morse bewees dat gladde functies rond een niet-ontaard kritiek punt een zekere normaalvorm hebben:

Als $p$ een niet-ontaard kritiek punt van $f$ is, bestaat er een natuurlijk getal $\lambda$ en een kaart $(U,(x_{1},\dots ,x_{n}))$ rond $p$ waarin de gelijkheid $f{\mid }_{U}=f(p)-x_{1}^{2}-\dots -x_{\lambda }^{2}+x_{\lambda +1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}$ geldt. Het getal $\lambda$ is dan noodzakelijk de index van $p$ .

Morse-kaarten rond de kritieke punten van de hoogtefunctie

Dit resultaat staat bekend als het lemma van Morse. De kaart $(U,(x_{1},\dots ,x_{n}))$ wordt een morse-kaart genoemd. De omgekeerde uitspraak van het lemma is ook waar. Als een functie lokaal van de bovenstaande vorm is, is de hessiaan niet-ontaard omdat ze in de coördinaten van een morse-kaart wordt gegeven door de blokmatrix $d^{2}f_{p}=\left({\begin{array}{c|c}-2I_{\lambda }&0\\\hline 0&2I_{n-\lambda }\\\end{array}}\right)$

Met het lemma van Morse kunnen we zien dat de hoogtefunctie uit het inleidend voorbeeld een morse-functie is. Elk kritiek punt heeft immers een omgeving waar $f$ , na het kiezen van geschikte coördinaten $(x,y)$ , geschreven kan worden als $f(p)\pm x^{2}\pm y^{2}$ of $f(p)-x^{2}+y^{2}$ .

Een gevolg van het lemma van Morse is dat niet-ontaarde kritieke punten geïsoleerd zijn: ze kunnen altijd door disjuncte open delen gescheiden worden. Bijgevolg is de verzameling kritieke punten van een morse-functie op $M$ een discrete deelruimte. Dus als $M$ compact is, kan een morse-functie op $M$ slechts eindig veel kritieke punten hebben.

Verband met transversaliteit

Het morse zijn van een functie kan uitgedrukt worden als een transversaliteitsvoorwaarde.

Een gladde functie $f:M\longrightarrow \mathbb {R}$ is een morse-functie als en slechts als de differentiaal van $f$ (opgevat als $1$ -vorm: een sectie van de coraakbundel $T^{\ast }M$ ) transversaal is aan de nulsectie van $T^{\ast }M$ .

Het gaat hier dus om transversaliteit van afbeeldingen.

Genericiteit

Als de variëteit $M$ compact is, is een algemene of generieke gladde functie op $M$ een morse-functie. Eender welke gladde functie kan dus met een willekeurig kleine perturbatie omgezet worden in een morse-functie. Bovendien zal een voldoende kleine perturbatie van een Morse-functie opnieuw een Morse-functie opleveren. Om een precieze betekenis aan deze eigenschappen te geven, wordt de ruimte ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ van gladde functies $M\longrightarrow \mathbb {R}$ met de (sterke) whitney-topologie uitgerust. Dan geldt de volgende stelling:

De verzameling morse-functies op een compacte variëteit $M$ is een open en dicht deel van de ruimte ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$ .

Zie ook Whitney-topologieën#Transversaliteit.

Deze stelling wordt meetkundig geïllustreerd door het volgende voorbeeld. Beschouw de rechtopstaande torus $\mathbb {T} ^{2}$ in $\mathbb {R} ^{3}$ , die we draaien om haar middelpunt in de richting van een vector $v$ . Wanneer bijvoorbeeld de torus rechtop staat, wijst $v$ in de richting van de positieve $z$ -as. We mogen aannemen dat $\left\|v\right\|=1$ , zodat $v\in \mathbb {S} ^{2}$ . Bijgevolg worden de draaiingen van de torus geparametriseerd door de sfeer $\mathbb {S} ^{2}$ . We gaan achterhalen voor welke waarden van $v$ de hoogtefunctie op de gedraaide torus een morse-functie is.

De gedraaide tori met hun kritieke punten

Wanneer $v$ de noordpool is, staat de torus rechtop en zijn er vier kritieke punten: Een minimum (index $0$ ), twee zadelpunten (index $1$ ) en een maximum (index $2$ ). Met hetzelfde argument waarmee we aantoonden dat de hoogtefunctie uit het inleidend voorbeeld een morse-functie was, kunnen we inzien dat deze hoogtefunctie op de torus ook morse is.
Naarmate $v$ zich van de noordpool verwijdert, schuiven de kritieke punten op langs de groene meridianen. Hun indices blijven hierbij behouden. We zien dat de hoogtefunctie opnieuw een morse-functie is.
Wanneer $v$ op de evenaar ligt, bestaat de verzameling kritieke punten uit twee evenwijdige cirkels. Alle kritieke punten zijn dus ontaard, aangezien ze niet geïsoleerd zijn. De hoogtefunctie op de platte torus is dus geen morse-functie.
Voor waarden van $v$ in het zuidelijk halfrond is de hoogte ook een morse-functie, volgens hetzelfde argument als hierboven.

We zien dus dat de hoogte op de gedraaide torus een morse-functie is voor alle waarden van $v$ in het complement van de evenaar in $\mathbb {S} ^{2}$ . Deze laatste deelruimte is open en dicht in $\mathbb {S} ^{2}$ .

Gradiënten

Om precies te beschrijven hoe het subniveau $M^{a}$ verandert in functie van $a$ , wordt gebruik gemaakt van een vectorveld dat de rol van de gradiënt van $f$ speelt. Voor functies $\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$ is er een goedgedefinieerde gradiënt die gebruik maakt van de identificaties $T\mathbb {R} ^{n}\cong T^{\ast }\mathbb {R} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ , die niet per se gelden indien $\mathbb {R} ^{n}$ vervangen wordt door een algemene variëteit (met extra structuur zoals een metriek kan men wel aantonen dat $TM\cong T^{\ast }M$ , zie riemann-variëteit#Muzikale isomorfismen).

Zij $f:M\longrightarrow \mathbb {R}$ een morse-functie. Een vectorveld $X$ op $M$ wordt een aan $f$ aangepaste gradiënt, of gewoon een gradiënt van $f$ , genoemd als

$X(f)=df(X)\geq 0$ , waarbij de gelijkheid alleen geldt in de kritieke punten van $f$ . Deze voorwaarde zegt dat $X$ altijd wijst in de richting van de stijging van $f$ , behalve in een kritiek punt, waar het nul is.
$X$ samenvalt met de euclidische gradiënt in de coördinaten van een morse-kaart van $f$ .

Gradiënten van morse-functies zijn in het algemeen niet uniek, maar ze bestaan wel altijd en ze kunnen geconstrueerd worden met eenheidspartities. Indien $M$ voorzien is van een metriek, is een coördinaatsonafhankelijke definitie mogelijk (zie riemann-variëteit#Gradiënten).

Gradiënten zijn handig voor het beschrijven van de topologie van $M$ ver weg van de kritieke punten van een morse-functie $f:M\longrightarrow \mathbb {R}$ . Als $a<b$ , dan geldt met de notatie $M_{a}^{b}:=\left\{p\in M\mid a\leq f(p)\leq b\right\}$ het volgende:

Als er geen kritieke punten van $f$ in de deelruimte $M_{a}^{b}$ liggen, dan is $M_{a}^{b}$ diffeomorf met $f^{-1}(a)\times \left[0,1\right]$ en is $M^{a}$ diffeomorf met $M^{b}$ .

In de afwezigheid van kritieke punten heeft $M$ dus een productstructuur. Het diffeomorfisme $f^{-1}(a)\times \left[0,1\right]\cong M_{a}^{b}$ wordt gegeven door de stroom $\varphi$ van een genormaliseerde gradiënt van $f$ (de gradiënt is genormaliseerd in de zin dat $f$ aan een constante snelheid stijgt langs de stroomlijnen). Het bestaan van deze gradiënt maakt expliciet gebruik van het feit dat $M_{a}^{b}$ geen kritieke punten van $f$ bevat^[3].

Men bekomt een diffeomorfisme $M^{a}\cong M^{b}$ door op te merken dat er ook geen kritieke punten van $f$ in $M_{a-\varepsilon }^{b}$ liggen, voor een zekere $\varepsilon >0$ . Vervolgens kan de strook $M_{a-\varepsilon }^{a}$ uitgerokken worden tot de strook $M_{a-\varepsilon }^{b}$ , ook door middel van een genormaliseerde gradiëntstroom. Dit diffeomorfisme $M_{a-\varepsilon }^{a}\cong M_{a-\varepsilon }^{b}$ wordt dan geplakt aan de identiteit op $M^{a-\varepsilon }$ om een diffeomorfisme $M^{a}=M^{a-\varepsilon }\cup M_{a-\epsilon }^{a}\cong M^{a-\varepsilon }\cup M_{a-\epsilon }^{b}=M^{b}$ te bekomen^[4].

Handvaten

Handvatencomplexen zijn de variëteittheoretische tegenhangers van CW-complexen: variëteiten die inductief opgebouwd worden door handvaten langs hun randen aan elkaar te plakken. Een geschikte morse-functie op een compacte variëteit (mogelijks met rand) zal haar domein met de strucuur van een handvatencomplex uitrusten.

Een handvat van dimensie $n$ en index $\lambda \in \left\{0,\dots ,n\right\}$ , ook wel een $\lambda$ -handvat genoemd, is een ruimte die diffeomorf is met het product $h^{\lambda }:=D^{\lambda }\times D^{n-\lambda }$ , waarbij $D^{k}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{k}\mid \left|x\right|\leq 1\right\}$ de gesloten $k$ -dimensionale eenheidsbol is. De deelruimte $D^{\lambda }\times 0\subseteq h^{\lambda }$ wordt de kern van het handvat genoemd en de deelruimte $0\times D^{n-\lambda }\subseteq h^{\lambda }$ de cokern. De rand van een $\lambda$ -handvat valt op natuurlijke wijze uiteen in twee delen: $\partial h^{\lambda }=\underbrace {\partial D^{\lambda }\times D^{n-\lambda }} _{\partial _{-}h^{\lambda }}\cup \underbrace {D^{\lambda }\times \partial D^{n-\lambda }} _{\partial _{+}h^{\lambda }}$ Een handvat kan worden geplakt aan een variëteit $M$ door middel van een (gladde) inbedding ${\displaystyle \varphi$ . De adjunctieruimte $M\cup _{\varphi }h^{\lambda }:={\left(M\sqcup h^{\lambda }\right)}/{p\sim \varphi (p)}$ is de ruimte die verkregen wordt door het handvat $h^{\lambda }$ langs $\varphi$ aan $M$ te plakken. Deze heeft een op diffeomorfisme na unieke gladde structuur waarvoor de kanonieke afbeeldingen $M\hookrightarrow M\cup _{\varphi }h^{\lambda }$ en $h^{\lambda }\hookrightarrow M\cup _{\varphi }h^{\lambda }$ (gladde) inbeddingen zijn^[5]. Het is gebruikelijk om een adjunctieruimte zoals $M\cup _{\varphi }h^{\lambda }$ met hoeken te tekenen indien ze niet van een gladde structuur voorzien is (zie de onderstaande figuur). Het uitbreiden van de structuur van $M\cup _{\varphi }h^{\lambda }$ van een topologische ruimte naar een gladde variëteit wordt afgladden genoemd.

Een driedimensionaal $1$ -handvat wordt aan een bol geplakt en afgeglad. Van links naar rechts: $D^{3}\sqcup h^{1}$ , $D^{3}\cup _{\varphi }h^{1}$ en $D^{3}\cup _{\varphi }h^{1}$ met de gladde structuur.

Een $n$ -dimensionaal handvatencomplex is een variëteit die bekomen wordt door handvaten van dimensie $n$ aan elkaar te plakken. Elk handvat $h^{\lambda _{i}}$ van een handvatencomplex $M$ kan als een ingebedde deelvariëteit van $M$ gezien worden, dus heeft $M$ een handvatenontbinding van de vorm $M=h^{\lambda _{1}}\cup \dots \cup h^{\lambda _{k}}$ .

Handvaten en morse-functies

Het passeren van één enkel kritiek punt, naarmate de waarde van een morse-functie stijgt, heeft het effect van het toevoegen van een handvat.

Als er precies één kritiek punt van $f$ in $M_{a}^{b}$ ligt, dan is $M^{b}$ diffeomorf met $M^{a}\cup h^{\lambda }$ , waarbij $\lambda$ de index van het kritieke punt is.

Het handvat $h^{\lambda }$ wordt geconstrueerd in een morse-kaart rond het kritieke punt en vervolgens afgeglad door middel van een aangepaste morse-functie $F$ op $M$ . Deze functie heeft $M^{a}\cup h^{\lambda }$ als onderniveau $\left\{F\leq a\right\}$ , $M^{b}=\left\{f\leq b\right\}$ als onderniveau $\left\{F\leq b\right\}$ en heeft geen kritieke punten op $\left\{a\leq F\leq b\right\}$ ^[6]. De gradiëntstroom van $F$ geeft dus een diffeomorfisme $M^{a}\cup h^{\lambda }\cong M^{b}$ .

Van links naar rechts: $M^{a}\cup h^{1}$ , $\left\{F\leq a\right\}$ en $M^{b}$ . De gradiëntstroom van $F$ is groen gekleurd.

De handvaten (grijs) die een gesloten oppervlak opmaken

Indien $M$ gesloten is (dus $\partial M=\varnothing$ ), kan men de bovenstaande stelling inductief toepassen op een morse-functie $f$ waarvan alle kritieke punten verschillende functiewaarden hebben (zo'n functie bestaat altijd). Het minimum van $f$ moet bereikt worden in een kritiek punt van index $0$ aangezien $\partial M=\varnothing$ , dus zal er bij het passeren van het minimum van $f$ een $0$ -handvat (een gesloten bol) ontstaan. Naarmate $a$ stijgt en andere kritieke waarden passeert, zal er telkens een handvat toegevoegd worden. Het resultaat is een handvatencomplex met één handvat van index $\lambda$ voor elk kritiek punt van index $\lambda$ . Als $M$ een niet-lege rand heeft, kan $M$ nog altijd ingebed worden in haar dubbele $D(M):=M\cup _{\psi }M$ ^[7], die wel gesloten is. Een geschikte morse-functie op $D(M)$ zal dan een ontbinding van $M$ in handvaten geven. Samengevat:

Een compacte variëteit heeft de structuur van een handvatencomplex en kan dus worden opgebouwd door handvaten van verschillende indices aan elkaar te plakken.

Referenties

↑ Ferguson, James (23 februari 2004). A Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications. DOI: 10.48550/arXiv.math/0402357.
↑ Smale, Stephen (1961). Generalized Poincar's Conjecture in Dimensions Greater Than Four. Annals of Mathematics 74 (2): 391–406. ISSN:0003-486X. DOI:10.2307/1970239.
↑ Matsumoto 2002, p. 24.
↑ Matsumoto 2002, p. 25.
↑ Kosinski 2007, p. 101.
↑ Kosinski 2007, p. 127.
↑ Dit zijn twee kopieën van $M$ die langs hun rand aan elkaar zijn geplakt door een diffeomorfisme ${\displaystyle \psi$ .

Bronnen

(en) Matsumoto, Yukio (2002). An Introduction to Morse Theory. American Mathematical Society. ISBN 0-821-81022-7.
(en) Kosinski, Antoni (2007). Differential Manifolds. Dover Publications. ISBN 0-486-46244-7.

[1] Ferguson, James (23 februari 2004). A Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications. DOI: 10.48550/arXiv.math/0402357.

[2] Smale, Stephen (1961). Generalized Poincar's Conjecture in Dimensions Greater Than Four. Annals of Mathematics 74 (2): 391–406. ISSN:0003-486X. DOI:10.2307/1970239.

[FOOTNOTEMatsumoto200224-3] Matsumoto 2002, p. 24.

[FOOTNOTEMatsumoto200225-4] Matsumoto 2002, p. 25.

[FOOTNOTEKosinski2007101-5] Kosinski 2007, p. 101.

[FOOTNOTEKosinski2007127-6] Kosinski 2007, p. 127.

[7] Dit zijn twee kopieën van $M$ die langs hun rand aan elkaar zijn geplakt door een diffeomorfisme ${\displaystyle \psi$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]