Whitney-topologieën

De zwakke whitney-topologie, ook wel de afleidbare compact-open-topologie genoemd, is de topologie op ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}{\left(M,N\right)}}$ die de verzamelingen$${\displaystyle {\mathcal {N}}^{k}(f;(U,\varphi ),(V,\psi ),K,\varepsilon )}$$als subbasis heeft. Hierbij is

• ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{k}{\left(M,N\right)}}$
• ${\displaystyle (U,\varphi )}$ een kaart op ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle (V,\psi )}$ een kaart op ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle K\subseteq U}$ een compact deel zodanig dat ${\displaystyle f(K)\subseteq V}$
• ${\displaystyle \varepsilon >0}$
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{k}(f;(U,\varphi ),(V,\psi ),K,\varepsilon )}$ de verzameling functies ${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}^{k}{\left(M,N\right)}}$ waarvoor ${\displaystyle g(K)\subseteq V}$ en$${\displaystyle \sup _{0\leq \ell \leq k,x\in \varphi (K)}{\Big \|}D^{\ell }(\psi f\varphi ^{-1})(x)-D^{\ell }(\psi g\varphi ^{-1})(x){\Big \|}<\varepsilon .}$$Dit betekent dat de lokale voorstellingen van ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$, samen met de eerste ${\displaystyle k}$ afgeleiden, hoogstens ${\displaystyle \varepsilon }$ van elkaar verwijderd zijn op ${\displaystyle K}$. Enkele opmerkingen:

1. De subbasis voor de topologie wordt geïndexeerd over de verzameling vijftallen ${\displaystyle (f;(U,\varphi ),(V,\psi ),K,\varepsilon )}$ zoals ze hierboven beschreven staan. Men werkt dus niet in één vaste kaart.
2. De norm ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$ is eender welke norm op een eindigdimensionale vectorruimte. Alle normen op een eindigdimensionale vectorruimte zijn equivalent, dus maakt het niet uit welke hier gebruikt wordt.
3. Aangezien ${\displaystyle \varphi (K)}$ compact is, wordt het bovenstaande supremum altijd bereikt (het is dus in feite een maximum).
4. Voor ${\displaystyle k=0}$ is de hierboven beschreven topologie de compact-open-topologie op ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}{\left(M,N\right)}}$.

Men noteert ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{W}^{k}{\left(M,N\right)}}$ voor de topologische ruimte ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}{\left(M,N\right)}}$ met de zwakke whitney-topologie. Hier slaat de letter W in subscript op het Engelse weak.

De gladde zwakke whitney-topologie op de verzameling ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }{\left(M,N\right)}}$ van gladde (oneidig vaak afleidbare) functies ${\displaystyle M\longrightarrow N}$ is de initiaaltopologie bepaald door de inclusies $${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }{\left(M,N\right)}\hookrightarrow {\mathcal {C}}_{W}^{k}{\left(M,N\right)}.}$$We noteren de bijhorende topologische ruimte met ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{W}^{\infty }{\left(M,N\right)}}$. De naamgeving kan enigzins verwarrend zijn, daar initiaaltopologieën soms sterke topologieën worden genoemd.

Een equivalente, meer categorische definitie van de ruimte ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{W}^{\infty }{\left(M,N\right)}}$ is als inverse limiet van het inverse systeem bepaald door de inclusies $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{W}^{0}{\left(M,N\right)}\hookleftarrow {\mathcal {C}}_{W}^{1}{\left(M,N\right)}\hookleftarrow \dots \hookleftarrow {\mathcal {C}}_{W}^{k}{\left(M,N\right)}\hookleftarrow \dots }$$

De sterke topologie wordt analoog aan de zwakke gedefinieerd, op een paar aanpassingen na:

• De kaarten ${\displaystyle (U,\varphi )}$ en ${\displaystyle (V,\psi )}$ worden vervangen door lokaal eindige atlassen ${\displaystyle \Phi =(U_{i},\varphi _{i})_{i\in I}}$ en ${\displaystyle \Psi =(V_{i},\psi _{i})_{i\in I}}$ voor respectievelijk ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle N}$.
• Het compactum ${\displaystyle K}$ wordt vervangen door een collectie compacte delen ${\displaystyle K=(K_{i})_{i\in I}}$ zodanig dat ${\displaystyle K_{i}\subseteq U_{i}}$ en ${\displaystyle \varphi (K_{i})\subseteq V_{i}}$.
• Het getal ${\displaystyle \varepsilon }$ wordt vervangen door een collectie strikt positieve reële getallen ${\displaystyle \varepsilon =(\varepsilon _{i})_{i\in I}}$.
• De verzamelingen ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{k}(f;\Phi ,\Psi ,K,\varepsilon )}$, die volledig analoog worden gedefinieerd als hierboven, vormen ditmaal een basis voor een topologie (eerder waren dit slechts elementen van een subbasis).

De sterke whitney-topologie, vaak gewoon de whitney-topologie genoemd, is de topologie op ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}{\left(M,N\right)}}$ die de verzamelingen$${\displaystyle {\mathcal {N}}^{k}(f;\Phi ,\Psi ,K,\varepsilon )}$$als basis heeft. Men noteert ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}^{k}{\left(M,N\right)}}$ voor de bijhorende topologische ruimte, waarbij de S in subscript slaat op het Engelse strong.

Voor ${\displaystyle k=\infty }$ wordt de ruimte ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}^{\infty }{\left(M,N\right)}}$ volledig analoog aan haar zwakke tegenhanger gedefinieerd.

Transversaliteit is een generieke eigenschap in de zin dat ze behouden blijft onder voldoende kleine perturbaties. Dit wordt door de volgende stelling precies gemaakt:

Als ${\displaystyle k\geq 1}$ en ${\displaystyle P\subseteq N}$ een deelvariëteit is, is de verzameling functies in ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}{\left(M,N\right)}}$ die transversaal zijn aan ${\displaystyle P}$ een dicht deel van ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}^{k}{\left(M,N\right)}}$. Deze verzameling is ook nog eens open in ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}^{k}{\left(M,N\right)}}$ als ${\displaystyle P}$ gesloten is in ${\displaystyle N}$.

Door ${\displaystyle P}$ te vervangen met het beeld van een indompeling ${\displaystyle g}$ kan men een gelijkaardig resultaat bewijzen over functies in ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}{\left(M,N\right)}}$ die transversaal zijn aan ${\displaystyle g}$. Een voorbeeld hiervan is de volgende stelling:

Als ${\displaystyle k\geq 2}$ en ${\displaystyle M}$ compact is, is de verzameling morse-functies op ${\displaystyle M}$ een open en dicht deel van ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S}^{k}{\left(M,\mathbb {R} \right)}}$.

Een ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$-functie ${\displaystyle f:M\longrightarrow \mathbb {R} }$ is namelijk een morse-functie als en slechts als de differentiaal ${\displaystyle df}$ transversaal is aan de nulsectie van ${\displaystyle T^{\ast }M}$, hetgeen een indompeling met gesloten beeld is.