Affiene meetkunde

De affiene meetkunde is de meetkunde, geïntroduceerd door Leonhard Euler, die een generalisatie is van de euclidische meetkunde, waarin de begrippen afstand en hoek geen betekenis hebben. In de affiene meetkunde blijft het parallellenpostulaat gehandhaafd, maar gelden het derde en het vierde postulaat van Euclides niet meer.

Euler heeft als eerste het woord affien gebruikt.^[1] Affien kom van het Duitse woord affin. Pas na het verschijnen van het Erlanger Programm van Felix Klein werd de affiene meetkunde erkend als een algemene vorm van de euclidische meetkunde.^[2]

Definitie

Een affiene meetkunde bestaat uit een verzameling punten ${\mathcal {P}}$ en een verzameling lijnen ${\mathcal {R}}$ , een incidentierelatie ${\mathcal {I}}$ tussen beide en een parallelliteitsrelatie $\|$ op ${\mathcal {R}}$ , die voldoen aan de volgende axioma's.

Door twee verschillende punten gaat precies één lijn.
Op iedere lijn liggen minstens twee punten.
De parallelliteitsrelatie is een equivalentierelatie.
Door ieder punt gaat precies één lijn die evenwijdig is aan een gegeven lijn.
Bij drie punten $A,B$ en $C$ die niet alle op één lijn liggen en twee punten $A'$ en $B'$ , waarvoor de lijn $A'B'$ evenwijdig is aan de lijn $AB$ , is er een punt $C'$ waarvoor $A'C'$ evenwijdig is aan $AC$ en $B'C'$ evenwijdig aan $BC$ .

Notatie en terminologie

Punten worden genoteerd als hoofdletters: $A,B,C,\ldots \in {\mathcal {P}}$ .
Lijnen worden met kleine letters genoteerd: $a,b,c,\ldots \in {\mathcal {R}}$ .
Geldt voor $A\in {\mathcal {P}},r\in {\mathcal {R}}:A\ {\mathcal {I}}\ r$ dan zegt men $A$ en $r$ zijn incident, of $A$ ligt op $r$ , of $r$ gaat door $A$ .
Geldt voor $r,s\in {\mathcal {R}}:r\|s$ , dan zegt men dat $r$ evenwijdig is aan $s$ , of dat $r$ en $s$ parallel zijn.

Een affiene eigenschap is een eigenschap die geldt in de affiene meetkunde. In de euclidische meetkunde zijn dit de eigenschappen die worden bewaard door parallelle projectie van een vlak op een ander vlak. Ook in andere meetkundes zijn ze van toepassing, bijvoorbeeld in de minkowski-ruimte.

Men kan stellen dat de affiene meetkunde een algemene vorm is van de euclidische meetkunde, die wordt gekarakteriseerd door scheefheid en schaalvervormingen. Projectieve meetkunde is weer meer algemeen dan affiene meetkunde, aangezien de projectieve meetkunde uit de projectieve ruimte kan worden afgeleid door een willekeurig vlak te "specialiseren".^[2]

In de taal van het Erlanger Programm van Felix Klein is de onderliggende symmetrie in de affiene meetkunde een groep van transformaties, van affiniteiten, die drie punten op één lijn zo afbeelden, dat zij weer op één lijn liggen.

Affiene meetkunde kan worden uitgewerkt in termen van de meetkunde van vectoren en vectorruimtes, met of zonder de notie van coördinaten. Een affiene ruimte onderscheidt zich van een vectorruimte van dezelfde dimensie door geen rekening met de oorsprong 0 te houden. Aangezien dit het enige belangrijke verschil is, kan de affiene meetkunde als een onderdeel van de lineaire algebra worden gezien. Een affiene transformatie is een bijectie van de affiene meetkunde, waarbij de meetkundige structuur hetzelfde blijft: punten blijven punten, lijnen blijven lijnen, vlakken blijven vlakken en evenwijdige lijnen blijven evenwijdig.

Axioma voor de affiene meetkunde

Een axiomatische behandeling van de affiene meetkunde wordt opgebouwd vanuit de axioma's van de geordende meetkunde door twee additionele axioma's toe te voegen.

Affiene axioma van parallellisme: Gegeven een punt $A$ en een lijn $r$ , die niet door $A$ gaat, dan is er op zijn hoogst 1 lijn door $A$ die lijn $r$ niet snijdt. Dit is de affiene vorm van het parallellenpostulaat.
Stelling van Desargues: Gegeven zeven verschillende punten $A,A',B,B',C,C'$ en $O$ , zodat $AA',BB'$ en $CC'$ verschillende lijnen zijn door $O$ en $AB$ evenwijdig is aan $A'B'$ en $BC$ evenwijdig is aan $B'C'$ , dan is $AC$ evenwijdig aan $A'C'$ .

Het affiene concept van parallellisme vormt een equivalentierelatie op lijnen.

voetnoten

↑ Blaschke, Wilhelm (1954). Analytische Geometrie. Birkhauser, Basel, pp. 31.
1 2 Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to Geometry (Inleiding in de meetkunde). John Wiley & Sons, New York, pp. 261. ISBN 0471504580.

literatuur

Basics of affine geometry. De basis van de affiene meetkunde

[1] Blaschke, Wilhelm (1954). Analytische Geometrie. Birkhauser, Basel, pp. 31.

[Coxeter-2] 1 2 Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to Geometry (Inleiding in de meetkunde). John Wiley & Sons, New York, pp. 261. ISBN 0471504580.

[1]

[2]