Toeplitz-matrix

Een Toeplitz-matrix, genoemd naar Otto Toeplitz, is een matrix met constante waarden op de hoofddiagonaal en de hiermee evenwijdige diagonalen. Dit betekent dat het element ${\displaystyle t_{i,j}}$ in rij ${\displaystyle i}$ en kolom ${\displaystyle j}$ gelijk is aan het element er rechtsonder en in het algemeen voor alle positieve waarden van ${\displaystyle k}$ aan element ${\displaystyle t_{i+k,j+k}}$.

Otto Toeplitz 1881–1940 was een wiskundige uit Duitsland, die onderzoek deed op het gebied van de functionaalanalyse. Het vermoeden van Toeplitz is ook naar hem genoemd. Hij is in 1939 naar Mandaatgebied Palestina verhuisd, maar daar ook overleden.

Voorbeeld van een Toeplitz-matrix:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\f&a&b&c&d\\g&f&a&b&c\\h&g&f&a&b\\i&h&g&f&a\end{bmatrix}}}$

Een Toeplitz-matrix is volledig bepaald door de eerste rij en de eerste kolom.

De coëfficiënten van een veeltermvermenigvuldiging van

${\displaystyle a=a_{1}+a_{2}x+\ldots +a_{m}x^{m-1}}$

en

${\displaystyle b=b_{1}+b_{2}x+\ldots +b_{n}x^{n-1}}$

zijn de elementen van de vector die het product is van de matrixvermenigvuldiging van een Toeplitz-matrix met de vector gevormd door de coëfficiënten van veelterm ${\displaystyle b:}$

${\displaystyle c=ab={\begin{matrix}{\begin{bmatrix}a_{1}&0&\ldots &0&0\\a_{2}&a_{1}&\ldots &\vdots &\vdots \\a_{3}&a_{2}&\ldots &0&0\\\vdots &a_{3}&\ldots &a_{1}&0\\a_{m-1}&\vdots &\ldots &a_{2}&a_{1}\\a_{m}&a_{m-1}&\vdots &\vdots &a_{2}\\0&a_{m}&\ldots &a_{m-2}&\vdots \\0&0&\ldots &a_{m-1}&a_{m-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &a_{m}&a_{m-1}\\0&0&0&\ldots &a_{m}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n-1}\\b_{n}\\\end{bmatrix}}\\\end{matrix}}}$

Dit is equivalent aan het berekenen van de convolutie van twee rijen getallen. De Toeplitz-matrix is hier een bandmatrix: enkel de elementen op de hoofddiagonaal en een aantal diagonalen daarboven of daaronder zijn niet-nul. Rechtsboven en linksonder die diagonalen bestaat de matrix enkel uit nullen.

Voor deze en andere bewerkingen met Toeplitz-matrices bestaan efficiënte algoritmes. Dit is bijvoorbeeld zo voor het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$

wanneer ${\displaystyle \mathbf {A} }$ een Toeplitz-matrix is. Dergelijke stelsels worden onder andere op in de digitale signaalverwerking gebruikt, voor spraakherkenning en dergelijke.

Een speciaal geval van een Toeplitz-matrix is een cyclische matrix. Dit is een matrix waarvan elke rij gelijk is aan de rij erboven maar dan één element naar rechts geroteerd:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{0}&c_{n-1}&\dots &c_{2}&c_{1}\\c_{1}&c_{0}&c_{n-1}&&c_{2}\\\vdots &c_{1}&c_{0}&\ddots &\vdots \\c_{n-2}&&\ddots &\ddots &c_{n-1}\\c_{n-1}&c_{n-2}&\dots &c_{1}&c_{0}\\\end{bmatrix}}}$

Zo'n cyclische matrix is volledig bepaald door de eerste kolom of rij. Elke volgende kolom is een cyclische permutatie van de vorige kolom of rij. Cyclische matrices komen bijvoorbeeld van pas bij de toepassing van discrete fouriertransformatie DFT op een rij getallen: de eigenwaarden van de cyclische matrix met die rij getallen als eerste rij vormen de DFT van die rij. Anders gezegd: de eerste rij van een cyclische matrix is de inverse DFT van de eigenwaarden van die matrix.

• De elementen in een Hankel-matrix zijn gelijk aan het element er rechtsboven in plaats van rechtsonder zoals in een Toeplitz-matrix.

• RM Gray. Toeplitz and circular matrices: a review, 2006.