Stelling van Erdős en Gallai

De stelling van Erdős en Gallai is een stelling uit de grafentheorie, die in 1960 door Paul Erdős en Tibor Gallai in een Hongaars tijdschrift werd gepubliceerd.^[1]

De stelling geeft noodzakelijke en voldoende voorwaarden opdat met een eindige lijst van natuurlijke getallen een enkelvoudige, niet-gerichte graaf kan worden gemaakt, waarvan de graden van de knopen overeenstemmen met de getallen in de lijst. Een dergelijke lijst, gerangschikt in niet-stijgende volgorde, noemt men een grafische lijst. Een graaf met overeenstemmende graden noemt men een realisatie van de lijst. Niet elke willekeurige lijst van natuurlijke getallen is een grafische lijst. Zo moet om te beginnen de som van de getallen in de lijst even zijn: elke zijde wordt tweemaal geteld, eenmaal bij de beginknoop en eenmaal bij de eindknoop.

Een niet-stijgende rij van ${\displaystyle n}$ natuurlijke getallen ${\displaystyle d_{1}\geq \ldots \geq d_{n}}$ stelt de graden van een eindige enkelvoudige graaf met ${\displaystyle n}$ knopen voor als en slechts als ${\displaystyle d_{1}+\ldots +d_{n}}$ even is en voor elke ${\displaystyle k}$ met ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ geldt dat

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}d_{i}\leq k(k-1)+\sum _{i=k+1}^{n}\min(d_{i},k)}$

Er bestaan verschillende bewijzen van deze stelling, waaronder een constructief bewijs waarin een graaf wordt geconstrueerd met de gegeven lijst.^[2]

Ga na of de rij (3,3,3,1) een grafische lijst is. De som van de getallen is even, maar het is de vraag of er ook aan de tweede voorwaarde is voldaan.

• ${\displaystyle k=1:3\leq 1\times 0+[\min(3,1)+\min(3,1)+\min(1,1)]}$ of ${\displaystyle 3\leq 1+1+1}$? Ja

• ${\displaystyle k=2:3+3\leq 2\times 1+[\min(3,2)+\min(1,2)]}$ of ${\displaystyle 6\leq 2+2+1}$? Nee

• ${\displaystyle k=3:3+3+3\leq 3\times 2+\min(1,3)}$ of ${\displaystyle 9\leq 7}$? Nee

• ${\displaystyle k=4:3+3+3+1\leq 4\times 3}$? Ja.

(3,3,3,1) is dus geen grafische lijst. Het is onmogelijk om een enkelvoudige graaf te construeren met 4 knopen waarvan de graden gegeven zijn door (3,3,3,1).