Rivieroversteekpuzzel

Rivieroversteekpuzzels zijn een type logische puzzels waarbij een groep een rivier of andere hindernis efficiënt moet oversteken, maar met allerlei beperkingen te maken krijgt. De transportcapaciteit is beperkt, bijvoorbeeld een klein bootje, of een lantaarn die maar weinig licht geeft. Verder zijn er groepsleden die niet bij elkaar kunnen. Zulke puzzels zijn optimaliseringsproblemen.

Het bekendste en eenvoudigste is het probleem van de wolf, de geit en de kool, waar de uitdrukking de kool en de geit sparen aan ontleend is.^[1] De oudste schriftelijke vermelding van dit soort problemen is te vinden in het laat-negende-eeuwse Propositiones ad acuendos iuvenes, die vier van dergelijke problemen bevat.

Een boer moet een wolf, een geit en een kool in zo min mogelijk overtochten over de rivier zetten, maar hij kan er slechts een tegelijk meenemen. Als hij erbij is houden ze zich rustig, maar als hij de geit en de kool achterlaat wordt de kool opgegeten, terwijl de wolf graag een geitje zou eten. De wolf, de geit en de kool vormen een voedselketen en die kan doorbroken worden door het midden eruit te halen: de boer mag de geit nooit met een van de andere achterlaten.

Er zijn twee oplossingen:

• Hij kan de kool en de geit sparen door eerst de geit mee te nemen en aan de overkant achter te laten. Dan brengt hij de wolf naar de overkant en vaart weer terug, met de geit bij zich. Vervolgens brengt hij de kool naar de overkant en als laatste brengt hij de geit opnieuw naar de overkant.
• De alternatieve oplossing is om wolf en kool in bovenstaande volgorde om te wisselen.

Het raadsel komt in veel culturen voor, waarbij de thema's zich aanpassen aan de plaatselijke omstandigheden, bijvoorbeeld als 'vos, kip en granen'. De puzzel is ook wijdverbreid in Afrika, bijvoorbeeld 'cheeta, kip en rijst'. In de Aarne-Thompson-Uther Index staan onder ATU 1579 verhalen met dit thema vermeld, maar ook in moderne entertainmentmedia wordt wel verwezen naar deze puzzel.

Een variant is het probleem van jaloerse echtgenoten, bekend uit de Propositiones: Drie echtparen (in de Propositiones zijn ze broers en zussen) willen een rivier oversteken, maar de boot kan maar twee mensen bevatten. De echtgenoten zijn jaloers op elkaar, dus geen van drieën zal toestaan dat zijn vrouw op een oever of in een boot zit met een andere man als hij er niet zelf bij is.

Een eenvoudigere variant van dit raadsel wordt verkregen als de toestand een beetje wordt afgezwakt: de vrouwen mogen natuurlijk nooit in de meerderheid zijn (tenzij er helemaal geen mannen bij zijn), want anders is een van hen met een vreemde man zonder dat haar eigen man erbij is. In deze versie wordt de taak het probleem van de missionarissen en kannibalen. Het achtergrondverhaal wordt daarbij anders geformuleerd: Drie missionarissen en drie kannibalen willen een rivier oversteken, maar de boot biedt slechts plaats aan twee personen. Om niet opgegeten te worden, mogen de missionarissen nooit in de minderheid zijn van de kannibalen.

Een verwant probleemtype is te vinden in Saul X. Levmore's en Elizabeth Early Cook's bridge crossing problem: vier mensen, gelabeld A, B, C en D, willen 's nachts een brug oversteken, maar ze hebben slechts een lantaarn bij zich. Zonder de lantaarn is het onmogelijk om de brug in het donker over te steken, maar de gloed ervan is slechts voldoende om met twee mensen om de brug tegelijk over te steken. A heeft 5 minuten nodig om over te steken, B 10 minuten, C 20 minuten en D 25 minuten. Omdat de lantaarn niet lang meer zal branden, moeten ze een manier vinden om zo snel mogelijk de brug over te steken.

Hier neemt de lantaarn de rol van de boot over, in plaats van het aantal overtochten te verminderen, moet de duur ervan worden geminimaliseerd. In de naïeve oplossing brengt A achtereenvolgens de andere drie naar de andere kant en keert hij zelf twee keer terug naar het startpunt. Dit duurt 10 + 5 + 20 + 5 + 25 = 65 minuten. Er is echter een snellere oplossing: A en B steken de brug over, A komt terug met de lantaarn. Dan gaan C en D, de twee langzaamste, samen over, de lantaarn brengt B terug voordat hij de brug weer oversteekt met A. Dit plan duurt slechts 10 + 5 + 25 + 10 + 10 = 60 minuten.

Naast deze bekende voorbeelden zijn er nog veel meer rivieroversteekpuzzels. Zo is het probleem van jaloerse echtgenoten ook gesteld voor een groter aantal paren, met de toevoeging van een eiland in het midden van de rivier. Een systematische studie met een volledige oplossing voor dit probleem is van Ian Pressman en David Singmaster.

Een kleine verzameling van verschillende rivieroversteekpuzzels is ook te vinden in het puzzelboek Amusements in Mathematics van Ernest Dudeney.