Puiseuxreeks

Truncated Puiseux expansions for the cubic curve y^2 = x^3 + x^2 — Afgestopte puiseuxuitbreidingen voor de kromme $y^{2}=x^{3}+x^{2}$ op het punt $x=y=0$ . Donkerder kleuren duiden op meer termen.

In de wiskunde zijn puiseuxreeksen de algemene vorm van machtreeksen die negatieve en fractionele exponenten van de variabele mogelijk maken. Bijvoorbeeld

{\begin{aligned}x^{-2}&+2x^{-1/2}+x^{1/3}+2x^{11/6}+x^{8/3}+x^{5}+\cdots \\&=x^{-12/6}+2x^{-3/6}+x^{2/6}+2x^{11/6}+x^{16/6}+x^{30/6}+\cdots \end{aligned}}

is een puiseuxreeks in de variabele $x$ . De puiseuxreeks is voor het eerst in 1676 door Isaac Newton geïntroduceerd en in 1850 door Victor Puiseux herontdekt.

De definitie van een puiseuxreeks houdt in dat de noemers van de exponenten begrensd moeten zijn. Dus door exponenten terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer $n$ , wordt een puiseuxreeks een laurentreeks in een n-de wortel van de variabele. Het bovenstaande voorbeeld is bijvoorbeeld een laurentreeks in $x^{1/6}$ . Omdat een complex getal $n$ $n$ de wortels heeft, definieert een convergente puiseuxreeks doorgaans $n$ functies in de omgeving van 0.

De stelling van Newton-Puiseux stelt dat, gegeven een vergelijking waarin een polynoom f met complexe coëfficiënten aan 0 gelijk wordt gesteld, dus $f(x,y)=0$ , de oplossingen in $y$ , gezien als functies van $x$ , als puiseuxreeksen in $x$ kunnen worden uitgebreid die convergent zijn in een bepaalde omgeving van 0. Met andere woorden, elke tak van een algebraïsche kromme kan lokaal worden beschreven door een puiseuxreeks in $x$ , of in $x-x_{0}$ bij het beschouwen van takken boven een buurt van $x\neq x_{0}$ .

De verzameling puiseuxreeksen over een algebraïsch gesloten lichaam (Ned) of veld (Be) met karakteristiek 0 is volgens de stelling van puiseux zelf een algebraïsch gesloten lichaam/veld. Dit wordt het lichaam/veld van de puiseuxreeks genoemd. Het is de afsluiting van het lichaam/veld van de laurentreeksen, dat zelf het quotiëntenlichaam is van de ring van machtreeksen.