Algebraïsch gesloten

Een bepaald lichaam (Ned) of veld (Be) heet in de wiskunde algebraïsch gesloten, wanneer ieder polynoom met coëfficiënten in datzelfde lichaam of veld in dat lichaam / veld een nulpunt heeft.

Noem ${\displaystyle K}$ het lichaam / veld. Dan betekent het dat ${\displaystyle K}$ algebraïsch gesloten is, dat ieder polynoom in één variabele ${\displaystyle x}$, van de graad ${\displaystyle n,n>1}$, met coëfficiënten in ${\displaystyle K}$, is te ontbinden als een product van ${\displaystyle n}$ verschillen ${\displaystyle x-a_{i}}$ met ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ en de constanten ${\displaystyle a_{i}\in K}$.

Een bewerking op twee elementen van hetzelfde lichaam, dezelfde groep of dezelfde ring, zoals de vermenigvuldiging van twee getallen, kan binnen de algebra ook als gesloten worden aangeduid, maar dat is een ander begrip.

De verzameling van alle polynomen over een lichaam ${\displaystyle K}$ vormen een ring, een veeltermring.

Een irreducibel polynoom is een polynoom, dat door geen ander polynoom, waarvan de graad kleiner maar tenminste één is, kan worden gedeeld. Een polynoom van de eerste graad is per definitie irreducibel. Als een polynoom een nulpunt heeft in het getal ${\displaystyle a\in K}$, dan kan dat polynoom door ${\displaystyle x-a}$ worden gedeeld.

Een lichaam is gesloten dan en slechts dan als alle polynomen in ${\displaystyle K[x]}$ die irreducibel zijn, de vorm ${\displaystyle a_{0}x-a_{1}}$ hebben. ${\displaystyle a_{0}}$ en ${\displaystyle a_{1}\in K}$.

Als ${\displaystyle K}$ niet gesloten is en ${\displaystyle f(x)}$ een irreducibel polynoom van de graad ${\displaystyle n>1}$, dan kan ${\displaystyle K}$ altijd worden uitgebreid tot een groter lichaam ${\displaystyle L}$, zodat ${\displaystyle f(x)}$ een nulpunt heeft in ${\displaystyle L}$. ${\displaystyle L}$ is het lichaam ${\displaystyle K}$, waaraan het element ${\displaystyle x}$ is toegevoegd, noteer ${\displaystyle L=K[x]}$. ${\displaystyle L}$ heet een uitbreiding van ${\displaystyle K}$.

• Het lichaam ${\displaystyle \mathbb {C} }$ van de complexe getallen is algebraïsch gesloten. Dit is de hoofdstelling van de algebra.

• Het lichaam ${\displaystyle \mathbb {R} }$ van de reële getallen is niet algebraïsch gesloten. ${\displaystyle x^{2}+1}$ heeft geen reële nulpunten. De complexe getallen vormen de kleinst mogelijke uitbreiding van de reële getallen waarin ${\displaystyle x^{2}+1}$ kan worden ontbonden.

• Het lichaam ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ van de rationale getallen is ook niet algebraïsch gesloten. ${\displaystyle x^{2}-2}$ is in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ irreducibel, de vierkantswortel van 2 is geen breuk. De kleinste uitbreiding van ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ waarin ${\displaystyle x^{2}-2}$ is te ontbinden wordt met ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ genoteerd. Dit lichaam is nog steeds niet gesloten, maar ${\displaystyle x^{2}-2}$ kan er wel in worden ontbonden als ${\displaystyle (x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})}$.

• Het lichaam ${\displaystyle \mathbb {A} }$ van de algebraïsche getallen is de kleinste uitbreiding van ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, waarin alle polynomen met coëfficienten in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ zijn te ontbinden. ${\displaystyle \mathbb {A} }$ is algebraïsch gesloten. ${\displaystyle \mathbb {A} }$ is een deellichaam van ${\displaystyle \mathbb {C} }$, maar kleiner dan ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

• S Lang. Algebra, 2002. Graduate Texts in Mathematics ISBN 978-0-387-95385-4