Numerieke integratie

Numerieke integratie is in de numerieke wiskunde de berekening van de numerieke waarde als benadering van een integraal. Hiertoe neemt men zijn toevlucht omdat veel integralen zich niet laten uitdrukken in elementaire functies. Een methode is de integraal te benaderen als gewogen som van een aantal functiewaarden:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x\approx \sum _{k=1}^{n}w_{k}f(x_{k}),}$

waarin de ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ steunpunten in het interval ${\displaystyle [\ a,b\ ]}$ zijn en ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ bijbehorende gewichtsfactoren. Door de manier waarop deze punten en de gewichtsfactoren worden gekozen, ontstaan verschillende benaderingsmethoden. Het op deze manier berekenen van een integraal wordt ook kwadratuur genoemd.

De belangrijkste oplossingen vormen de formules van Newton-Cotes, die met dezelfde afstanden werken. Een voorbeeldl is de trapeziumregel, die de integraal op elk deelinterval benadert door de oppervlakte van de trapeze met als schuine zijde de koorde tussen de punten op de grafiek van de functie in de eindpunten van het deelinterval. De regel van Simpson geeft een betere benadering, waarbij in plaats van de koorde uit de trapeziumregel een parabolische aanpassing aan de grafiek doet. Theoretisch zijn de formules van 4e en 6e orde nog beter, maar deze zijn in praktijk moeilijk te gebruiken.

Een hogere algebraïsche nauwkeurigheid geeft de kwadratuurformule van Gauss, die gebruikmaakt van een benadering met een polynoom van de functie, maar de regel van Simpson wordt in praktijk meer toegepast dan de kwadratuurformule van Gauss. Een speciale integraal is de fouriertransformatie. Daar bestaat een algoritme voor, de Fast Fourier transform, afgekort FFT.

Zie de categorie Numerical integration van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.