Laguerre-polynoom

In de wiskunde zijn de laguerre-polynomen, genoemd naar Edmond Laguerre (1834 - 1886), oplossingen van de ${\displaystyle n}$-de differentiaalvergelijking van Laguerre:

${\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,\,\qquad n=0,1,2,3\ldots }$

Laguerre-polynomen vinden toepassing in de kwantummechanica, in het radiële deel van de oplossing van de schrödingervergelijking voor een 1-elektron atoom.

De ${\displaystyle n}$-de laguerre-polynoom ${\displaystyle L_{n}(x)}$ is een polynoom van de graad ${\displaystyle n}$ die gegeven wordt door de rodriguez-formule:

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n}e^{-x})}$

Een reeksontwikkeling van ${\displaystyle L_{n}(x)}$ wordt verkregen door de n-de afleiding uit te werken met behulp van de algemene Leibnizregel

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{k!}}}$

Voor de zo gedefinieerde laguerre-polynomen geldt:

${\displaystyle L_{0}(x)=1}$

Fysici gebruiken vaak een definitie waarbij ${\displaystyle n}$-de laguerre-polynoom een factor ${\displaystyle n!}$ (${\displaystyle n}$ faculteit) groter is.

De eerste zeven laguerre-polynomen zijn:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle L_{n}(x)}$
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle -x+1}$
2	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x^{2}-4x+2)}$
3	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)}$
4	${\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)}$
5	${\displaystyle {\tfrac {1}{120}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)}$
6	${\displaystyle {\tfrac {1}{720}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)}$

Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:

${\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x)}$

en

${\displaystyle xL_{n}'(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x)}$

Uit de twee voorgaande recursieformules kan mem een derde afleiden

${\displaystyle L_{n+1}'(x)=L_{n}'(x)-L_{n}(x)}$

Laguerre-polynomen vormen een orthonormaal stelsel met betrekking tot het inproduct:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x}$

Er geldt:

${\displaystyle \langle L_{m},L_{n}\rangle =\delta _{m,n}}$

met

${\displaystyle \delta }$ de kronecker delta

De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal:

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-xz/(1-z)}}{(1-z)\,z^{n+1}}}\,\mathrm {d} z}$

De voortbrengende functie wordt gegeven door de reeks

${\displaystyle G(x,z)=\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}(x)z^{k}}$

Vermenigvuldiging van beide leden met ${\displaystyle z^{-(n+1)}}$ geeft

${\displaystyle {\frac {G(x,z}{z^{n+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}(x)}{z^{(n+1)}}}z^{k}}$

Kringintegratie rond de oorsprong voor ${\displaystyle |z|<1}$ en toepassing van de residustelling geeft als resultaat dat enkel de coëfficiënt van de ${\displaystyle z^{-1}}$ term overleeft en dit gebeurd voor ${\displaystyle k=n}$

${\displaystyle \oint {\frac {G(x,z)}{z^{(n+1)}}}\,\mathrm {d} z=2\pi i\,L_{n}(x)}$

of ${\displaystyle \oint {\frac {G(x,z)}{z^{n+1}}}\,\mathrm {d} z=\oint {\frac {e^{-xz/(1-z)}}{(1-z)\,z^{n+1}}}\,\mathrm {d} z}$

zodat ${\displaystyle G(x,z)={\frac {e^{-xz/(1-z)}}{(1-z)}}}$

De polynoom-oplossingen van de differentiaalvergelijking

${\displaystyle xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0}$

worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.

De formule van Rodriguez voor deze polynomen is

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)}$

De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:

${\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x)}$

De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\L_{1}^{(\alpha )}(x)&=-x+\alpha +1\\L_{2}^{(\alpha )}(x)&={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}\\L_{3}^{(\alpha )}(x)&={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}\end{aligned}}}$

• (en) Laguerre polynomen op PlanetMath
• (en) Laguerre polynomen op MathWorld