Algemene Leibnizregel

In de differentiaalrekening is de algemene regel van Leibniz, genoemd naar Gottfried Wilhelm Leibniz, een uitbreiding van de productregel voor de afgeleide van het product van twee functies (ook bekend als de "regel van Leibniz"). Deze regel stelt dat als ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ twee n-voudig differentieerbare functies zijn, het product ${\displaystyle fg}$ ook n-voudig differentieerbaar is en de n-de afgeleide ervan gegeven wordt door

$${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}$$

waarbij${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$ de binomiaalcoëfficiënt is en ${\displaystyle f^{(j)}}$ de j-de afgeleide van ${\displaystyle f}$ (en in het bijzonder ${\displaystyle f^{(0)}=f}$) aangeeft. De regel kan worden bewezen met behulp van de productregel en wiskundige inductie.

Gevraagd de n-de afgeleide van ${\displaystyle F(x)=x^{n}e^{-x}}$ met ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ en ${\displaystyle g(x)=e^{-x}}$

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})=\sum \limits _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}x^{n}\,{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}e^{-x}=e^{-x}n!\sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{k!}}}$

immers ${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}e^{-x}=(-1)^{k}e^{-x}}$ en ${\displaystyle {\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}x^{n}={\frac {n!}{k!}}x^{k}}$