Jacobiaans vermoeden

In de algebraïsche meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is het Jacobiaanse vermoeden een bekend openstaand probleem over polynomen in meer variabelen. Het vermoeden werd voor het eerst in 1939 opgesteld door de Duitse wiskundige Ott-Heinrich Keller. De Indiase wiskundige Shreeram Abhyankar (1930–2012) gebruikte het Jacobiaanse vermoeden als een voorbeeld van een vraag op het gebied van de algebraïsche meetkunde dat om het te formuleren behalve kennis van de differentiaal- en integraalrekening verder geen andere achtergrondkennis nodig is. Het Jacobiaanse vermoeden is berucht om het grote aantal bewijzen, maar waarin subtiele fouten bleken te zitten. Er waren in 2018 nog geen plausibele claims dat het Jacobiaanse vermoeden was bewezen.^[1]

Laat ${\displaystyle n>1}$ een vast geheel getal zijn en beschouw de polynomen ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ in de variabelen ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ met coëfficiënten in een algebraïsch gesloten lichaam ${\displaystyle K}$. Het is voldoende aan te nemen dat ${\displaystyle K}$ het lichaam van de complexe getallen is. Definieer de functie ${\displaystyle f:K^{n}\to K^{n}}$ door:

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})\right)}$

De determinant van de jacobi-matrix van ${\displaystyle f}$, aangegeven door ${\displaystyle J_{f}}$, wordt gedefinieerd als de determinant van de n×n–matrix die bestaat uit de partiële afgeleiden van de functies ${\displaystyle f_{i}}$ met betrekking tot ${\displaystyle x_{j}}$:

${\displaystyle J_{f}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\end{matrix}}\right|,}$

dan is ${\displaystyle J_{f}}$ zelf een polynoom in de ${\displaystyle n}$ variabelen ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$.

De voorwaarde ${\displaystyle J_{f}\neq 0}$ is gerelateerd aan de inverse functiestelling in de multivariabele analyse. Voor gladde functies, dus in het bijzonder voor polynomen, bestaat op elk punt waar ${\displaystyle J_{f}}$ niet nul is, een lokale inverse functie van ${\displaystyle f}$. ${\displaystyle K}$ is algebraïsch gesloten, zodat ${\displaystyle J_{f}}$ als een polynoom nul zal zijn voor enige complexe waarden van ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ tenzij het een constante functie is, die ongelijk aan 0 is. Er geldt dat:

Propositie: Als ${\displaystyle f}$ een inverse functie ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle K^{n}\rightarrow K^{n}}$ heeft, dan is ${\displaystyle J_{f}}$ een constante ongelijk aan 0.

Het vermoeden kan worden omgekeerd:

Jacobiaans vermoeden: Als ${\displaystyle J_{f}}$ een constante ongelijk 0 is, dan heeft ${\displaystyle f}$ een inverse functie ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle K^{n}\rightarrow K^{n}}$ en is ${\displaystyle g}$ regulier, in de zin dat haar componenten door polynomen worden gegeven.

Wang bewees in 1980 het Jacobiaanse vermoeden voor polynomen van graad twee. Bass, Connell en Wright lieten in 1982 zien dat het algemene geval volgt uit het speciale geval waar de polynomen van graad drie zijn, meer in het bijzonder van de vorm ${\displaystyle f=\left(x_{1}+h_{1},\ldots ,x_{n}+h_{n}\right)}$, waar elke ${\displaystyle h_{i}}$ ofwel nul of een derdegraads polynoom is. In dit geval is het hetzelfde dat de jacobi-matrix is te inverteren en nilpotent is. Moh controleerde in 1983 het vermoeden voor polynomen van graad van ten hoogste 100 in twee variabelen. De Bondt en Van den Essen lieten in 2005 zien, dat het zelfs genoeg is om het Jacobiaanse vermoeden te bewijzen in gevallen, waar de jacobi-matrix symmetrisch is.

Het Jacobiaans vermoeden is equivalent aan het vermoeden van Dixmier.