Gesloten (algebra)

Een bewerking op twee elementen van hetzelfde lichaam, dezelfde groep of dezelfde ring, zoals de vermenigvuldiging van twee getallen, heet in de algebra gesloten, als de uitkomst van die bewerking zelf ook weer een element is van dat lichaam, die groep of die ring. De definitie heeft betrekking op een bewerking in een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch), een groep of een ring. Algebraïsch volledig wordt soms als synoniem voor gesloten gebruikt.

• De oneindige lichamen / velden ${\displaystyle \ \mathbb {Q} ,\mathbb {A} }$ en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ van de rationale, de algebraïsche en de reële getallen zijn gesloten onder de bewerking optellen. Deze drie lichamen of velden, maar waar de nul uit is weggelaten, zijn ook gesloten onder de vermenigvuldiging.
• De beide bewerkingen optellen en vermenigvuldigen zijn in een lichaams (Ned) - of velduitbreiding (Be) met een eindig aantal elementen aan een priemlichaam gesloten. Een dergelijk eindig lichaam / veld wordt genoteerd als ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$, waarin ${\displaystyle p}$ de karakteristiek van het lichaam / veld is en de macht ${\displaystyle n}$ de uitbreidingsgraad ervan.
• Er komt in een groep altijd maar een bewerking voor. De bewerking binnen een groep is per definitie gesloten.
• De vermenigvuldiging is in ${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }$ niet gesloten. ${\displaystyle 2:3}$ en ${\displaystyle 2:3\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }$, maar ${\displaystyle 2:3\times 2:3=1\notin \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }$.

Bepaalde lichamen / velden worden in de wiskunde als algebraïsch gesloten gedefinieerd, maar dat is een ander begrip.