Dissectieprobleem

In de meetkunde is een dissectieprobleem het probleem van het verdelen van een meetkundige figuur zoals een polytoop of een bal in kleinere stukken die kunnen worden herschikt tot een nieuwe figuur met gelijke inhoud. Deze nieuwe verdeling wordt een dissectie genoemd, van de ene polytoop in de andere. Het is meestal vereist dat de dissectie maar een eindig aantal stukken gebruikt. Om problemen te vermijden met betrekking tot de verzamelingenleer die verband houden met de Banach-Tarski-paradox en Tarski's cirkel-kwadraatprobleem moeten de stukken aan bepaalde voorwaarden voldoen. Ze kunnen bijvoorbeeld worden beperkt tot de afsluiting van onsamenhangende open verzamelingen.

Het derde probleem van Hilbert is een dissectieprobleem.

Elke veelhoek kan volgens de stelling van Bolyai-Gerwien^[1] in elke andere veelhoek met dezelfde oppervlakte worden opgedeeld, met behulp van intern-disjuncte veelhoekige stukken, maar het is niet zo dat elk veelvlak een dissectie heeft in een ander veelvlak met hetzelfde volume met behulp van veelvlakkige stukken. Daar ligt de Dehn-invariantie aan ten grondslag. Dit proces is mogelijk voor twee honingraten, zoals een kubus in drie dimensies en voor twee zonohedra met hetzelfde volume, in alle dimensies.

Een verdeling in driehoeken van gelijke oppervlakte wordt een equidissectie genoemd. De meeste veelhoeken kunnen niet in gelijke delen worden verdeeld en voor de veelhoeken die op deze manier wel kunnen worden opgedeeld zijn er vaak beperkingen over het mogelijke aantal driehoeken. Volgens de stelling van Monsky^[2] is er bijvoorbeeld geen vreemde equidissectie van een vierkant.