Dekpuntstelling van Brouwer

De dekpuntstelling van Brouwer gaat over continue afbeeldingen in een n-dimensionale topologische ruimte. Als door dergelijke afbeeldingen bepaalde gebieden in zichzelf afgebeeld worden, wordt ten minste een punt, het dekpunt, op zichzelf afgebeeld. De stelling is naar L.E.J. Brouwer (1881-1966) genoemd, een Nederlandse wiskundige.

De dekpuntstelling van Brouwer was een van de vroege successen van de algebraïsche topologie en is de basis van meer algemene dekpuntstellingen, die belangrijk zijn in de functionaalanalyse. Het geval ${\displaystyle n=3}$ werd in 1904 als eerste bewezen door Piers Bohl, het artikel werd gepubliceerd in de Journal für die reine und angewandte Mathematik. Vervolgens bewees Brouwer ditzelfde geval in 1909. Jacques Hadamard bewees het algemene geval in 1910 en Brouwer vond daar in 1912 een alternatief bewijs voor. Aangezien deze vroege bewijzen alle niet-constructieve waren, strookten ze niet met Brouwers intuïtionistische idealen. Tegenwoordig zijn er wel methoden gevonden om dekpunten of benaderingen daarvan te construeren.^[1][2]

Laat ${\displaystyle D}$ de gesloten eenheidsbol zijn in de ${\displaystyle n}$-dimensionale ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ en ${\displaystyle f}$  een continue afbeelding van ${\displaystyle D}$ naar ${\displaystyle D}$, dan heeft ${\displaystyle f}$ ten minste een dekpunt, dat wil zeggen: er is een ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle D}$, waarvoor ${\displaystyle f(x)=x}$. Anders geformuleerd: een continue afbeelding ${\displaystyle f}$ van ${\displaystyle D}$ naar ${\displaystyle D}$ laat ten minste een punt van ${\displaystyle D}$ op zijn plaats.