Wortelgemiddelde

Het wortelgemiddelde, ook veralgemeend gemiddelde of höldergemiddelde, genoemd naar Otto Hölder, is een centrummaat. Het wortelgemiddelde met macht ${\displaystyle p}$ van een rijtje van ${\displaystyle n}$ getallen wordt als volgt berekend: verhef alle getallen tot de macht ${\displaystyle p}$, bepaal het rekenkundige gemiddelde van deze ${\displaystyle p}$-de machten en neem uit dit gemiddelde de p-de-machtswortel. Behalve het rekenkundige gemiddelde (${\displaystyle p=1}$) zijn ook het meetkundig gemiddelde (${\displaystyle p=0}$), het kwadratische gemiddelde (${\displaystyle p=2}$) en het harmonische gemiddelde (${\displaystyle p=-1}$) wortelgemiddelden.

Het rijtje getallen waar het om gaat is op te vatten als een vector. In een coördinatenruimte in ${\displaystyle n}$ dimensies, dat kan een reële of een complexe coördinatenruimte zijn, bepaalt het wortelgemiddelde van de absolute waarden van de coördinaten van deze vector voor ${\displaystyle p\geq 1}$ een norm voor die vector. L^p-ruimten zijn zo gedefinieerd.

Voor het reële getal ${\displaystyle p\neq 0}$ is het ${\displaystyle p}$-de-machtswortelgemiddelde van de getallen ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ gedefinieerd. De getallen mogen niet negatief zijn.

${\displaystyle W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}}{n}}\right)^{1/p}=\left({\frac {a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots +a_{n}^{p}}{n}}\right)^{1/p}}$.

Hoewel het voorschrift van sommige gemiddelden niet meteen hetzelfde is, worden zij toch als wortelgemiddelde gerekend. Deze wortelgemiddelden zijn in de limiet voor ${\displaystyle p\to 0,\ p\to -\infty }$ en ${\displaystyle p\to \infty }$ gedefinieerd:

${\displaystyle W_{0}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}}$, het meetkundige gemiddelde

${\displaystyle W_{-\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\min\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}}$, het minimum

${\displaystyle W_{\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\max\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}}$, het maximum

• ${\displaystyle p=1}$ geeft het rekenkundige gemiddelde: ${\displaystyle W_{1}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$
• ${\displaystyle p=2}$ geeft het kwadratische gemiddelde: ${\displaystyle W_{2}={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$
• ${\displaystyle p=-1}$ geeft het harmonische gemiddelde: ${\displaystyle W_{-1}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$

• Het wortelgemiddelde is homogeen, dat wil zeggen dat voor ${\displaystyle \lambda >0}$ geldt:

${\displaystyle W_{p}(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\ldots ,\lambda a_{n})=\lambda W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$

• De berekening van een wortelgemiddelde kan in blokken van gelijke grootte worden opgesplitst:

${\displaystyle W_{p}(a_{1},\,a_{2},\ldots ,a_{mk})=W_{p}(W_{p}(a_{1},\ldots ,a_{k}),W_{p}(a_{k+1},\ldots ,a_{2k}),\ldots ,W_{p}(a_{(m-1)k+1},\ldots ,x_{mk}))}$

• Algemeen geldt voor ${\displaystyle -\infty \leq s\leq t\leq \infty }$:

${\displaystyle W_{s}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\leq W_{t}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$

• Het wortelgemiddelde van ${\displaystyle n}$ dezelfde getallen is gelijk aan dat getal:

${\displaystyle W_{p}(a,a,\ldots ,a)=a}$

• Als de wortelgemiddelden voor twee verschillende machten aan elkaar gelijk zijn, dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk.

${\displaystyle s\neq t\land W_{s}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=W_{t}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\implies a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}}$

• MathWorld. Power Mean.