Wormprobleem

Een oplossing van het probleem moet zowel een recht lijnstuk van lengte 1 kunnen bedekken als de brede kromme van Schaer. Daaruit volgt dat de oppervlakte van de oplossing ten minste 0,438 93 : 2 = 0,219 46 moet zijn. Dit is dus een ondergrens. Deze is later iets opgetrokken: in 2011 bepaalden Khandhawit, Pagonakis en Sriswasdi een verbeterde ondergrens van 0,232 239.^[2]

Aan de andere kant is het duidelijk dat een cirkel met diameter 1 elke kromme van lengte 1 kan bedekken. De oppervlakte daarvan is ongeveer 0,78539. Dit is een bovengrens die aan de ruime kant is. Rond 1970 bewees Meir dat een halve cirkelschijf met diameter 1 al elke kromme van lengte 1 kan bedekken en de oppervlakte daarvan is ongeveer 0,39269. Deze bovengrens is later nog een aantal keer verfijnd. Vooral de Amerikaanse wiskundige Poole heeft zich met dit probleem beziggehouden.

• Gerriets en Poole vonden in 1974 een vorm met een oppervlakte van minder dan 0,288 70. Het was een ruit met grote diagonaal 1 en kleine diagonaal ${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}$, waarvan een hoek aan het eind van de kleine diagonaal was afgeknot.^[3] Ze formuleerden in hun artikel ook het vermoeden dat de bovengrens kleiner was dan 0,261799.

• Norwood, Poole en Laidacker vonden in 1992 een vorm met een oppervlakte kleiner dan 0,275 24. Het is een verfijning van de vorm van Gerriets en Poole. Het is een cirkelsector van 60° met straal 0,5 met aan weerszijden een rechthoekige driehoek met hoeken 30°, 60° en 90°. De zijden ervan zijn ${\displaystyle 0,5,{\sqrt {3}}/6,{\sqrt {3}}/3}$.^[1]

• Norwood en Poole verkleinden deze bovengrens in 2003 tot 0,260 437, maar dan wel met een gebied dat niet convex is, dus concaaf.^[4]

• De Amerikaanse wiskundige Wetzel sprak in 1973 het vermoeden uit dat een cirkelsector met straal 1 en hoek 30° voldoende zou zijn. De oppervlakte daarvan is ${\displaystyle \pi /12=0{,}2618\ldots }$. Omstreeks 2019 hebben, onafhankelijk van elkaar Panraksa van de Mahidol Universiteit in Bangkok en Wachiramala van de Chulalongkorn University in Bangkok samen en Movshivich van de University of Illinois hiervoor een bewijs geleverd. Beide bewijzen zijn nog niet erkend.^[5]