Wang-betegeling

Deel van een wang-betegeling van het vlak

Een wang-betegeling is een betegeling van het tweedimensionale vlak met zich herhalende tegels. De tegels zijn qua vorm identieke vierkanten die ieder door hun twee diagonalen in vier driehoeken zijn verdeeld, maar elke driehoek heeft een bepaalde kleur. Het aantal kleuren is beperkt, dus gebeurt de betegeling met een eindig aantal verschillende tegels. Zij mogen niet worden gedraaid of gespiegeld. De tegels worden wang-tegels genoemd. De betegeling gebeurt in een vierkant patroon en zodanig dat tegels die elkaar raken dat moeten doen met dezelfde kleur. Elke soort tegel mag een eindig of oneindig aantal keer worden gebruikt. De wiskundige Hao Wang heeft in 1961 het idee beschreven.

Geschiedenis

De vraag die naar voren komt is dat het met een gegeven aantal wang-tegels mogelijk is om het oneindige vlak te betegelen. Wang publiceerde voor dit beslissingsprobleem in 1961 een algoritme. Hij nam in zijn bewijs van de correctheid daarvan aan, dat altijd als het met een eindig aantal tegels mogelijk is om het vlak volledig te vullen, dat met een periodieke betegeling gaat.[1] Robert Berger heeft in 1965 bewezen, dat deze aanname van Wang verkeerd was.[2] Berger, die de naam wang-tegels heeft bedacht, toonde aan dat er een verzameling van wang-tegels bestaat waarmee het vlak alleen niet-periodiek kan worden betegeld, dus zonder een zich periodiek herhalende groep. Het algoritme van Wang was dus verkeerd.

De eerste niet-periodieke betegeling die Berger vond bestond uit 20 526 verschillende tegels, maar hij vermoedde wel dat er niet-periodieke betegelingen moesten bestaan met minder wang-tegels. Die zijn ook gevonden. Karel Culik II heeft in 1996 een niet-periodieke betegeling met dertien tegels in vijf kleuren gevonden.[3] Deze 13 wang-tegels zien er zo uit:

Het minste aantal tegels en kleuren voor een niet-periodieke vlakvulling is in 2015 ontdekt met elf tegels en vier kleuren.[4] Er komen in deze betegeling de volgende elf tegels voor:

Om te bewijzen dat er met tien tegels of drie kleuren geen niet-periodieke betegeling kan worden gelegd werd een computer gebruikt.

Overige

  • Elke verzameling van wang-tegels kan als een model voor een turingmachine worden beschouwd, waarbij geldt dat de wang-tegels het vlak alleen dan vullen als de turingmachine niet stopt. Nu is het bekend dat het stopprobleem een onbeslisbaar probleem is, dus is het beslissingsprobleem van de wangbetegeling dat ook. Er bestaat met andere woorden geen algoritme om te besluiten of het vlak met een gegeven aantal wang-tegels kan worden betegeld.
  • Het principe van de wang-betegeling kan men in de driedimensionale ruimte toepassen met wang-kubussen, even grote kubussen waarvan elke zijde een bepaalde kleur heeft. Die worden zodanig in de ruimte gestapeld dat kubussen elkaar steeds met dezelfde kleur moeten raken. Hiervoor zijn ook verzamelingen van wang-kubussen bekend waarmee de ruimte alleen niet-periodiek kan worden gevuld.[5] Wang-tegels en -kubussen hebben toepassing gevonden in 2D- en 3D-computergraphics voor bijvoorbeeld snelle textuurmapping.[6][7][8]
  • Een penrose-betegeling is een andere niet-periodieke betegeling en wordt door twee of meer tegels gegenereerd. Er zijn verschillende penrose-betegelingen mogelijk.
Zie de categorie Wang tiles van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.
Dit artikel is uitgegeven door Wikipedia. De tekst is beschikbaar onder Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0, tenzij anders vermeld. Voor de mediabestanden kunnen aanvullende voorwaarden gelden.