Voetpuntsveelhoek

In de meetkunde is voetpuntsveelhoek een uitbreiding van de voetpuntsdriehoeken van driehoeken naar veelhoeken. De definitie van een voetpuntskromme komt daarmee overeen.

Zij ${\displaystyle B}$ een veelhoek en ${\displaystyle P}$ een punt in het vlak van de veelhoek, dan is de voetpuntsveelhoek van ${\displaystyle P}$ de veelhoek gevormd door de voetpunten van de loodlijnen vanuit ${\displaystyle P}$ op de opeenvolgende zijden van ${\displaystyle B}$ te verbinden in de volgorde waarin ze worden bepaald. Stel de veelhoek ${\displaystyle B}$ heeft als hoekpunten de punten ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots ,B_{n}}$. Noem ${\displaystyle H_{1}}$ het voetpunt van de loodlijn uit ${\displaystyle P}$ op de lijn ${\displaystyle B_{1}B_{2}}$, ${\displaystyle H_{2}}$ het voetpunt van de loodlijn uit ${\displaystyle P}$ op de lijn ${\displaystyle B_{2}B_{3}}$, enzovoort. De punten ${\displaystyle H_{1},H_{2},\ldots ,H_{n}}$ vormen de voetpuntsveelhoek van ${\displaystyle P}$ ten opzichte van ${\displaystyle B}$. Voor elk punt ${\displaystyle P}$ kan men een voetpuntsveelhoek construeren, ook als ${\displaystyle P}$ op een zijde ligt of met een hoekpunt van ${\displaystyle B}$ samenvalt. Het kan gebeuren dat een aantal hoekpunten van de voetpuntsveelhoek samenvallen.

Jakob Steiner bewees in 1838 de volgende stelling: de meetkundige plaats van de punten ${\displaystyle P}$ waarvan de voetpuntsveelhoeken ten opzichte van een gegeven veelhoek ${\displaystyle B}$ dezelfde oppervlakte hebben is een cirkel. De straal van deze cirkel is een functie van de oppervlakte van de voetpuntsveelhoeken, maar het middelpunt is een vast punt.^[1]