Viergradiënt

Het begrip viergradiënt komt voor in de speciale relativiteitstheorie en is de algemene vorm van de gewoonlijke notie van gradiënt naar een viervector. Het is een natuurlijk object indien men afgeleide neemt van functies of tensoren die op de Minkowski-ruimte zijn gedefinieerd. In algemene relativiteitstheorie, waar het domein van functies een meer algemene, gekromde ruimte kan zijn, kan de viergradiënt verder naar de covariante- of lie-afgeleide worden uitgebreid.

De viergradiënt is gedefinieerd als

${\displaystyle \partial _{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)}$,

en is een covariante tensor. Op de gebruikelijke manier, door met de metriek de index omhoog te halen, kan men een contravariante versie van de viergradiënt definiëren. Indien men werkt met de mostly plus-conventie (= - + + +), is deze gegeven door

${\displaystyle \partial ^{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)}$,

Soms wordt de viergradiënt als ${\displaystyle D}$ genoteerd. Het kwadraat van deze operator wordt gedefinieerd als

${\displaystyle D\cdot D=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}}$.

en is gelijk aan de d'Alembertiaan. Indien men in natuurlijke eenheden werkt is de numerieke waarde van de lichtsnelheid gelijk aan 1, en is de viergradiënt dus ${\displaystyle \partial _{\mu }=({\frac {\partial }{\partial t}},\nabla )}$.

• R d'Inverno. Introducing Einstein's Relativity De bladzijden 64-65 gaan over de viergradiënt en vectorvelden, ISBN 0198596863
• JD Jackson. Classical Electrodynamics. Hoofdstuk 11, ISBN 0-471-30932-X
• JW v Holten. Deeltjes en velden , transformatieregels van de viergradiënt en covariante vectoren in het algemeen, blz 54 onderaan