Vermoeden van Kepler

Het vermoeden van Kepler, vernoemd naar Johannes Kepler, is een wiskundig vermoeden over de stapeling van bollen in de driedimensionale euclidische ruimte. Er bestaat volgens het vermoeden geen schikking van even grote, ruimtevullende bollen met een grotere gemiddelde dichtheid dan bij de kubisch vlakgecentreerde en de zeshoekige dichte schikking. De dichtheid van deze schikkingen is iets groter dan 74%. Iedere bol raakt daarbij aan twaalf andere bollen.

${\displaystyle \eta ={\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0{,}74048}$

In 1998 werd het vermoeden door Thomas Hales bewezen.

Het vermoeden werd in 1611 voor het eerst door Johannes Kepler geformuleerd in zijn boekje Strena Seu de Nive Sexangula (Over de zeshoekige sneeuwvlok). Kepler was begonnen arrangementen van bollen te bestuderen naar aanleiding van zijn correspondentie met de Engelse wiskundige en astronoom Thomas Harriot in 1606. Harriot was een vriend en assistent van sir Walter Raleigh, die hem had gevraagd hoe kanonskogels het beste op het dek van een schip konden worden gestapeld. Harriot publiceerde in 1591 een studie van verschillende stapelpatronen en werd later van atomisme beschuldigd.

Gauss gaf tweehonderd jaar na Kepler een bewijs van het vermoeden voor het geval dat de bollen in een regelmatige roosterschikking liggen. De hoogste pakkingsfactor is dan inderdaad ${\displaystyle \pi /(3{\sqrt {2}})}$,^[1] maar Keplers oorspronkelijke vermoeden was nog niet bewezen.

Thomas Hales kondigde in 1998 aan dat hij een bewijs had voor het vermoeden van Kepler. Het bewijs volgt een aanpak die in 1953 al door László Fejes Tóth werd voorgesteld. Het bewijs van Hales, een bewijs door gevalsonderscheiding, controleert een groot aantal individuele gevallen aan de hand van berekeningen met de computer. Dat was een punt van kritiek op het bewijs, maar sinds Hales en anderen in 2017 een formeel bewijs van het vermoeden publiceerden,^[2] dat zo is opgesteld dat bewijsassistenten^[3] het kunnen helpen controleren, geldt het vermoeden algemeen als bewezen.

• (en) TC Hales. A proof of the Kepler conjecture, 2005. voor Annals of Mathematics vol. 162, blz 1065–1185
• (en) TC Hales. The status of the Kepler conjecture, 1994. voor de Mathematical Intelligencer vol. 16, issue 3, blz 47–58
• (en) TC Hales. Historical overview of the Kepler conjecture, 2006. voor Journal of Discrete & Computational Geometry 36, 1 blz 5–20
• (de) L Fejes Tóth, Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum, 1953. voor Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Band LXV, 1953.