Vermoeden van Fermat-Catalan

In de getaltheorie combineert het vermoeden van Fermat-Catalan de ideeën van de laatste stelling van Fermat en het vermoeden van Catalan, vandaar de naam. Het vermoeden zegt dat de vergelijking ${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}}$ maar eindig veel oplossingen heeft waarvoor geldt dat ${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1}$, met verschillende waarden van het drietal ${\displaystyle \left(a^{m},b^{n},c^{k}\right)}$, die onderling ondeelbaar zijn.

Er zijn er tien bekend:^[1]

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}}$

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}}$

${\displaystyle 13^{2}+7^{3}=2^{9}}$

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}}$

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}}$

${\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}}$

${\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}}$

${\displaystyle 9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}}$

${\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}}$

${\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}}$

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}}$ is vanwege het vermoeden van Catalan de enige oplossing waarbij een van ${\displaystyle a,b}$ of ${\displaystyle c}$ gelijk aan 1 is. Met ${\displaystyle m>6}$ wordt bij deze oplossing altijd aan de gestelde vergelijking en de bijkomende voorwaarde voldaan, maar is de bijbehorende oplossing altijd het drietal ${\displaystyle \left(\ 1,\ b^{n},c^{k}\right)}$.

Als het abc-vermoeden vermoeden waar is, is dit vermoeden ook waar.