Transfiniet getal

Een transfiniet getal is een kardinaalgetal of ordinaalgetal dat groter dan alle eindige getallen is, maar niet persé wat Cantor absoluut oneindig noemde. Georg Cantor, die het woord oneindig wilde vermijden, noemde het transfiniet, dit in verband met de objecten die niet eindig zijn. Weinig wiskundigen schrikken tegenwoordig nog terug voor het begrip oneindig. Het is algemeen aanvaard gebruik om transfiniete kardinaal- en ordinaalgetallen als oneindig aan te duiden, maar ze transfiniet noemen blijft ook in gebruik.

De transfiniete ordinalen en kardinalen vallen niet samen, zoals de eindige ordinalen en kardinalen. De eerste transfiniete ordinaal wordt aangeduid met ${\displaystyle \omega }$. Hierop volgt ${\displaystyle \omega +1}$, ${\displaystyle \omega +2}$, ..., ${\displaystyle \omega +\omega =2\omega }$, ${\displaystyle 3\omega }$, ${\displaystyle 4\omega }$, ..., ${\displaystyle \omega \omega =\omega ^{2}}$, ${\displaystyle \omega ^{3}}$, ..., ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$, ...

De eerste transfiniete kardinaal is ${\displaystyle \aleph _{0}}$, spreek uit: alef-nul. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ is het eerste alef-getal, de kardinaliteit van de natuurlijke getallen en meer in het algemeen van alle aftelbaar oneindige verzamelingen. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ heeft de volgende eigenschappen, voor ${\displaystyle x\leq \aleph _{0}}$:

• ${\displaystyle \aleph _{0}+x=\aleph _{0}}$
• ${\displaystyle \aleph _{0}\times x=\aleph _{0}}$

En, voor eindige ${\displaystyle x}$:

• ${\displaystyle \aleph _{0}^{x}=\aleph _{0}}$

Om een grotere kardinale oneindigheid dan ${\displaystyle \aleph _{0}}$ te bereiken, moet men machtsverheffen tot de macht ${\displaystyle \aleph _{0}}$:

• ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}}$

Het transfiniete getal ${\displaystyle \aleph _{0}}$ is de kardinaliteit van de natuurlijke getallen, van de gehele getallen, van de rationale getallen en van de algebraïsche getallen.

${\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |=|\mathbb {Z} |=|\mathbb {Q} |=|\mathbb {A} |}$

Onder de continuümhypothese is ${\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}}$ de kardinaliteit van de reële getallen, van de transcendente getallen, van de complexe getallen, van de punten op een lijn of een lijnstuk en ook van de punten in het heelal. Onder meer is dus:

${\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}=|\mathbb {R} |=|\mathbb {C} |}$

Daarna komt ${\displaystyle \aleph _{2}=2^{\aleph _{1}}}$, de kardinaliteit van de reële functies van een reële variabele.

Voor ${\displaystyle \aleph _{3}=2^{\aleph _{2}}}$ en volgende wordt interpretatie steeds moeilijker.

• MathWorld. Transfinite Number.