Stelling van Zsigmondy

De stelling van Zsigmondy is een stelling uit de getaltheorie in 1892 gepubliceerd door de Oostenrijks-Hongaarse wiskundige Karl Zsigmondy (1867-1925).^[1] De stelling wordt in de theorie van eindige groepen gebruikt en kan als volgt worden geformuleerd:^[2]

Als ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle m}$ gehele getallen zijn groter dan 1, dan bestaat er een priemgetal ${\displaystyle p}$, zodat ${\displaystyle a^{m}-2}$ wel door ${\displaystyle p}$ kan worden gedeeld, maar geen van de ${\displaystyle a^{i}-2}$ met ${\displaystyle i=1,\ldots ,m-1}$. Er zijn twee uitzonderingen:

als ${\displaystyle a=2}$ en ${\displaystyle m=6}$ of

als ${\displaystyle m=2}$ en ${\displaystyle a+1}$ een macht van 2 is.

Men noemt een dergelijk priemgetal een getal of een priemgetal van Zsigmondy. De stelling kan worden gegeneraliseerd:

Als ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ met ${\displaystyle a>b>1}$ twee gehele getallen die onderling ondeelbaar zijn en ${\displaystyle m}$ een geheel getal is groter dan 1, dan bestaat er een priemgetal ${\displaystyle p}$, zodat ${\displaystyle a^{m}-b^{m}}$ door ${\displaystyle p}$ kan worden gedeeld, maar er daar voor geen van de ${\displaystyle a^{i}-b^{i}}$ met ${\displaystyle i=1,\ldots ,m-1}$ door ${\displaystyle p}$ kan worden gedeeld. Er zijn weer twee uitzonderingen:

${\displaystyle a=2,\ b=1}$ en ${\displaystyle m=6}$, of

${\displaystyle a+b}$ is een macht van twee en ${\displaystyle m=2}$.

Als ${\displaystyle b=1}$ krijgt men de eerste vorm van de stelling.

• Als ${\displaystyle a=2}$ en ${\displaystyle b=1}$ worden de grootste priemgetallen van Zsigmondy voor ${\displaystyle m=1,2,3,\ldots }$ gegeven door de rij:

1, 3, 7, 5, 31, 1, 127, 17, 73, 11, 2047, 13, 8191, 43, ...^[3]

Voor ${\displaystyle m=1}$ en 6 is er dus geen priemgetal van Zsigmondy vanwege de eerste uitzondering op de stelling.

• Als ${\displaystyle a=3}$ en ${\displaystyle b=1}$ worden de grootste priemgetallen van Zsigmondy voor ${\displaystyle m=1,2,3,\ldots }$ gegeven door de rij:

2, 1, 13, 5, 121, 7, 1093, 41, 757, 61, 88573, 73, 797161, ...^[4]

Voor ${\displaystyle m=2}$ is er geen priemgetal van Zsigmondy vanwege de tweede uitzondering op de stelling.