Standaardinproduct

Het standaardinproduct ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }$ van twee vectoren ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ is gedefinieerd als

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots +x_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}$

Vat men ${\displaystyle \mathbf {x} }$ en ${\displaystyle \mathbf {y} }$ op als kolomvectoren:

${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{\top },\mathbf {y} =[y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}]^{\top }}$,

dan kan het standaardinproduct als matrixproduct worden geschreven:

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {y} =\mathbf {y} ^{\top }\mathbf {x} }$

Van het complexe standaardinproduct van twee vectoren ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ bestaan twee vormen.

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+{\bar {x}}_{2}y_{2}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}y_{i}}$

en

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle '=x_{1}{\bar {y}}_{1}+x_{2}{\bar {y}}_{2}+\dotsb +x_{n}{\bar {y}}_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i}}$.

De beide vormen verschillen alleen daarin dat ze elkaars complex geconjugeerde zijn:

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle '={\overline {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }}}$.

Vat men ${\displaystyle \mathbf {x} }$ en ${\displaystyle \mathbf {y} }$ als kolomvectoren op:

${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{\top },\mathbf {y} =[y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}]^{\top }}$,

dan kan het complexe standaardinproduct geschreven worden als matrixproduct:

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} ^{\top }{\bar {\mathbf {y} }}={\bar {\mathbf {y} }}^{\top }\mathbf {x} }$.

De norm van een reële of complexe vector ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ die is afgeleid van het standaardinproduct, wordt euclidische norm genoemd, en heeft de vorm:

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \ }}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\ldots +|x_{n}|^{2}\ }}}$.

De euclidische afstand ${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|}$ tussen twee reële of complexe vectoren ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ en ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$ van de euclidische norm wordt met behulp van de stelling van Pythagoras afgeleid:

${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\langle \mathbf {x} -\mathbf {y} ,\mathbf {x} -\mathbf {y} \rangle \ \ }}={\sqrt {|x_{1}-y_{1}|^{2}+\ldots +|x_{n}-y_{n}|^{2}\ }}}$.

De hoek ${\displaystyle \theta =\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$ tussen twee reële vectoren ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\neq 0}$ en ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\neq 0}$ wordt met behulp van de cosinus van het reële standaardinproduct afgeleid:

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\ \|y\|}}}$

Twee reële of complexe vectoren ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\neq 0}$ en ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\neq 0}$ zijn orthogonaal, als hun inproduct gelijk is aan 0, dus als:

${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$.

In het geval van dat twee reële vectoren ${\displaystyle \mathbf {x} }$ en ${\displaystyle \mathbf {y} }$ orthogonaal zijn, betekent dat dat ${\displaystyle \angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=90^{\circ }}$.