Rúnar Þór Sigurgeirsson

Rúnar begon zijn carrière in de jeugd bij Keflavík ÍF, een club uit de stad met dezelfde naam. Hij doorliep verschillende jeugdelftallen waarna hij in april 2017 de overstap maakte naar het eerste team. Zijn competitiedebuut kwam meer dan een jaar later, toen hij op 12 augustus 2018 in mocht vallen in de thuiswedstrijd tegen KA Akureyri. In de daaropvolgende seizoenen, waarin Keflavík ÍF afwisselend op het hoogste en één-na-hoogste niveau van IJsland speelde, was Rúnar vaste basisspeler. Hij speelde in totaal 80 wedstrijden voor Keflavík, waarin hij goed was voor dertien goals en twaalf assists.

In januari van 2023 maakte hij de overstap naar Östers IF. Het grootste gedeelte van de wedstrijden in de Superettan in seizoen 2022/23 startte hij ook daar in de basis. Zijn verblijf in Zweden werd beperkt tot slechts één seizoen, waarin hij in zeventien wedstrijden tot twee goals en drie assists kwam.

Eind augustus 2023 werd bekend dat Sigurgeirsson de overstap maakte naar Willem II, waar hij een contract tekende tot medio 2026. Daar maakte hij op 3 september in de derby tegen NAC Breda zijn debuut. Op 10 november stond Sigurgeirsson met Willem II door een overwinning op Jong FC Utrecht voor het eerst bovenaan in de Eerste divisie. Op 29 januari 2024 was hij tegen Jong PSV (1-1) met zijn eerste goal voor Willem II goed voor een punt. Op 10 mei kroonde Sigurgeirsson zich tegen Telstar met een 3-2 overwinning tot kampioen van de Eerste Divisie. Een jaar later degradeert hij met Willem II terug naar de eerste divisie.

Sønderjyske

Op 1 september 2025 tekent hij vervolgens enkele wedstrijden na de start van het nieuwe seizoen een vierjarig contract bij Sønderjyske, dat in de Superligaen speelt. Kort na deze transfer liep hij op 27 september in de wedstrijd tegen FC Kopenhagen een gescheurde kruisband op.