Particuliere oplossing

In de wiskunde, in het bijzonder in de theorie van differentiaalvergelijkingen, wordt een willekeurige oplossing van een differentiaalvergelijking een particuliere oplossing genoemd. De bijhorende gedachte is dat die particuliere oplossing leidt tot het opsporen van de hele oplossingsverzameling, van de algemene oplossing. Dat is speciaal het geval bij (niet-homogene) lineaire differentiaalvergelijkingen.

Een lineaire differentiaalvergelijking kan worden geschreven als:

${\displaystyle L(f)=g}$,

met ${\displaystyle L}$ een lineaire operator en ${\displaystyle g}$ een bekende functie.

Als een oplossing bekend is, de particuliere oplossing ${\displaystyle f_{\text{P}}}$, is iedere andere oplossing de som van deze particuliere oplossing en een oplossing ${\displaystyle f_{\text{H}}}$ van de bijbehorende homogene vergelijking

${\displaystyle L(f_{\text{H}})=0}$

Er geldt immers:

${\displaystyle L(f_{\text{P}}+f_{\text{H}})=L(f_{\text{P}})+L(f_{\text{H}})=g}$

In veel gevallen kunnen alle oplossingen van de homogene vergelijking met gebruikelijke methoden worden gevonden en hoeft er voor de algemene oplossing alleen nog naar een particuliere oplossing worden gezocht.

Beschouw de lineaire niet-homogene differentiaalvergelijking

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}+f(t)=e^{t}}$

De bijhorende homogene differentiaalvergelijking is

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}+f(t)=0}$

De algemene oplossing van de homogene vergelijking is

${\displaystyle f(t)=Ae^{-t},\quad A\in \mathbb {C} }$

Een particuliere oplossing van de eerste, niet-homogene vergelijking is

${\displaystyle f(t)={\tfrac {1}{2}}e^{t}}$

De algemene oplossing van de niet-homogene vergelijking is dus

${\displaystyle f(t)={\tfrac {1}{2}}e^{t}+Ae^{-t},\quad A\in \mathbb {C} }$