Orthopool

In de projectieve meetkunde is de orthopool van een lijn ten opzichte van een driehoek een punt dat met de onderstaande definitie kan worden geconstrueerd. De naam is door Joseph Neuberg (1840 – 1926) ingevoerd.

Gegeven ${\displaystyle \triangle ABC}$ en de lijn ${\displaystyle \ell }$. De loodlijnen uit ${\displaystyle A,B}$ en ${\displaystyle C}$ op ${\displaystyle \ell }$ snijden ${\displaystyle \ell }$ in ${\displaystyle A',B'}$ en ${\displaystyle C'}$. De lijnen door ${\displaystyle A'}$ loodrecht op ${\displaystyle BC}$, door ${\displaystyle B'}$ loodrecht op ${\displaystyle AC}$ en door ${\displaystyle C'}$ loodrecht op ${\displaystyle AB}$ gaan door een punt. Dit punt is de bedoelde orthopool.

De orthopool van een driehoek voldoet aan bepaalde eigenschappen.

• De orthopool van ${\displaystyle \ell }$ ligt op de rechte van Wallace loodrecht op ${\displaystyle \ell }$.
• Snijdt ${\displaystyle \ell }$ de omgeschreven cirkel, dan ligt de orthopool op de twee rechten van Wallace van de snijpunten van ${\displaystyle \ell }$ met de omgeschreven cirkel.
• De orthopool van een lijn door het middelpunt van de omgeschreven cirkel ligt op de negenpuntscirkel. Iedere voetpuntscirkel van een punt op een dergelijke lijn gaat door de orthopool.
• De orthopolen van de lijnen van een volledige vierhoek ten opzichte van de driehoeken gevormd door de andere drie liggen op een lijn.
• De orthopolen van een lijn ten opzichte van de vier driehoeken die kan worden gevormd met hoekpunten van een vierhoek liggen op een lijn.
• De orthopolen van een lijn ten opzichte van de vier driehoeken die kan worden gevormd met zijden uit een volledige vierzijde liggen op een lijn.
• De macht van de orthopool van ${\displaystyle \ell }$ ten opzichte van voetpuntscirkels van punten ${\displaystyle P}$ op ${\displaystyle \ell }$ is constant. Dit is de stelling van Lemoyne.