Meervoudig nulpunt van een polynoom

Als het getal ${\displaystyle a}$ een nulpunt is van het polynoom ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$, dan kan ${\displaystyle f}$ door de factor ${\displaystyle x-a}$ worden gedeeld. Kan ${\displaystyle f}$ meer keer door ${\displaystyle x-a}$ worden gedeeld, dan heet ${\displaystyle a}$ een meervoudig nulpunt van ${\displaystyle f}$. Het aantal keer ${\displaystyle k}$ dat ${\displaystyle f}$ door ${\displaystyle x-a}$ kan worden gedeeld heet de multipliciteit van het nulpunt ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle a}$ wordt een ${\displaystyle k}$-voudig nulpunt van ${\displaystyle f}$ genoemd. Voor zo'n nulpunt ${\displaystyle a}$ is er een polynoom ${\displaystyle g}$ waarvoor geldt:

${\displaystyle g(a)\neq 0}$

en

${\displaystyle f(x)=(x-a)^{k}g(x)}$.

Een nulpunt met multipliciteit 1 wordt ook een gewoon of een enkelvoudig nulpunt genoemd. Om het aantal nulpunten van een polynoom aan te geven, kan een ${\displaystyle k}$-voudig nulpunt als ${\displaystyle k}$ nulpunten worden meegeteld. Nulpunten worden in dat geval naar hun multipliciteit gerekend.

Zij gegeven het polynoom ${\displaystyle f}$ met domein ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in de figuur rechts:

${\displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$.

De som van de coëfficiënten in ${\displaystyle f}$ is ${\displaystyle 1+2-7+4=0}$, dus is ${\displaystyle f(1)=0}$ en is er een ander polynoom ${\displaystyle r}$ zodat ${\displaystyle f(x)=(x-1)r(x)}$. Deze ${\displaystyle r}$ kan met staartdelen worden bepaald:

${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{2}+3x-4)}$.

${\displaystyle r(x)=x^{2}+3x-4}$ kan met de som-product-methode in ${\displaystyle (x-1)(x+4)}$ worden ontbonden, zodat:

${\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}(x+4)}$.

Daaruit zien we dat 1 een tweevoudig nulpunt is van ${\displaystyle f}$ en −4 een enkelvoudig nulpunt. ${\displaystyle f}$ heeft drie nulpunten.

Uit de hoofdstelling van de algebra volgt, dat ieder polynoom met een graad ${\displaystyle n}$ van ten minste 1, precies ${\displaystyle n}$ nulpunten in het complexe vlak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ heeft, wanneer ieder nulpunt met ${\displaystyle k}$ als multipliciteit ${\displaystyle k}$ keer wordt geteld.