Latijns vierkant

Een Latijns vierkant van de orde ${\displaystyle n}$ is een vierkant van ${\displaystyle n}$ rijen en ${\displaystyle n}$ kolommen, gevuld met ${\displaystyle n}$ verschillende symbolen waarvan elk in iedere rij en iedere kolom precies een keer voorkomt. Latijnse vierkanten worden in de groepentheorie gebruikt met cayley-tabellen, het ontwerpen van experimenten en in de coderingstheorie. De naam 'Latijns vierkant' komt van Leonhard Euler die in zijn vierkanten Latijnse symbolen gebruikte.

Een Latijns vierkant wordt meestal zo weergegeven dat de symbolen op de bovenste rij in een natuurlijke volgorde zijn geordend en de symbolen in de eerste kolom in diezelfde volgorde staan. Een Latijns vierkant dat niet in deze vorm staat, kan daar naar worden omgevormd door eerst kolommen met elkaar te verwisselen, zodat de eerste rij geordend staat, en daarna ook de rijen te permuteren, zodat de eerste kolom in de natuurlijke volgorde staat. Een Latijns vierkant dat zo is geordend staat in gereduceerde standaardvorm. Het is in het Engels een reduced latin square.

Latijnse vierkanten kunnen worden gebruikt om magische vierkanten te construeren.^[1] Veel bewerkingen op een Latijns vierkant, zoals roteren en rijen en kolommen omwisselen geven opnieuw een Latijns vierkant. Het aantal Latijnse vierkanten voor een gegeven ${\displaystyle n}$ is gelijk aan het aantal gereduceerde Latijnse vierkanten maal ${\displaystyle n!\times (n-1)!}$

Een voorbeeld van een Latijns vierkant van orde drie, eerst niet gereduceerd, dan de kolommen verwisseld en daarna ook de rijen.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&1\\1&2&3\\3&1&2\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&2\\2&3&1\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\\\end{bmatrix}}}$

Het laatste vierkant is nu in de gereduceerde standaardvorm aangezien de bovenste rij en de linkerkolom de getallen in de volgorde 1, 2, 3 bevat.

Sudoku's zijn een speciaal geval van Latijnse vierkanten: een gewone Sudokupuzzel is een 9 bij 9 Latijns vierkant waarbij ook geldt dat in elk van de negen afzonderlijke vakken van drie bij drie de getallen 1 tot en met 9 moeten voorkomen.

Futoshiki is een puzzel waarbij getallen moeten worden ingevuld, zodat een Latijns vierkant ontstaat, maar waarbij ook voldaan moet worden aan bepaalde, gegeven ongelijkheden, zoals groter dan, kleiner dan tussen vakjes.