LC-kring

Een LC-kring is een elektrische schakeling, een enkele stroomkring die uit een spoel en een condensator bestaat. Er wordt, door verwaarlozing van de elektrische weerstand, verondersteld dat er geen energieverlies optreedt in het circuit.

De LC-kring gedraagt zich als een resonantiekring. Resonantiekringen vormen een belangrijk onderdeel van veel applicaties zoals oscillatoren, filters, tuners, wisselrichters en mixerschakelingen.

Een LC-kring heeft geen weerstand. Als deze kring wordt aangestoten, bijvoorbeeld door de condensator op te laden, ontstaat een oscillatie met frequentie ${\displaystyle f_{0}}$, waarbij periodiek energie van de condensator naar de spoel gaat en omgekeerd. Zonder weerstand treden geen verliezen op en zal de kring blijven oscilleren.

De resonantie-hoekfrequentie ${\displaystyle \omega _{0}}$ wordt in radialen per seconde gegeven door:

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\cdot C}}}}$

waarin

${\displaystyle L}$ de zelfinductie van de spoel in henry, en

${\displaystyle C}$ de capaciteit van de condensator in farad

De resonantiefrequentie ${\displaystyle f_{0}}$ is dan:

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}}$

dus:

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {L\cdot C}}}}}$

Uit de spanningswet van Kirchhoff volgt dat de spanning ${\displaystyle V_{C}}$ over de condensator in grootte gelijk moet zijn aan de spanning ${\displaystyle V_{L}}$ over de spoel:

${\displaystyle V_{C}=-V_{L}}$

Op dezelfde manier volgt uit de stroomwet van Kirchhoff dat de stromen door de condensator en de spoel aan elkaar gelijk moeten zijn:

${\displaystyle i_{C}=i_{L}}$

Ook is

${\displaystyle V_{L}(t)=L{\frac {\mathrm {d} i_{L}}{\mathrm {d} t}}}$

en

${\displaystyle i_{C}(t)=C{\frac {\mathrm {d} V_{C}}{\mathrm {d} t}}}$

Na herschrijven en vervangen, volgt een tweede-orde differentiaalvergelijking

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}i(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {1}{LC}}i(t)=0}$

Definieer:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$

Met deze definitie is de differentiaalvergelijking:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}i(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}i(t)=0}$

Een wellicht mogelijke oplossing invullen, van de gedaante

${\displaystyle i(t)=e^{at}}$

levert met differentiëren en wegdelen van ${\displaystyle e^{at}}$ een voorwaarde voor ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle a^{2}+\omega ^{2}=0}$,

dus zijn er twee oplossingen voor ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle a=+j\omega }$

en

${\displaystyle a=-j\omega }$

met ${\displaystyle j}$ de imaginaire eenheid.

De volledige oplossing van de differentiaalvergelijking is:

${\displaystyle i(t)=Ae^{+j\omega t}+Be^{-j\omega t}}$

De integratieconstanten ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ volgen uit de begincondities, de waarden van ${\displaystyle i}$ en ${\displaystyle V}$ op tijdstip nul.