Geheel element

In de commutatieve algebra wordt een element van een commutatieve ring met eenheid geheel genoemd ten opzichte van een deelring met eenheid als dat element een nulpunt van een monisch polynoom is met coëfficiënten in de deelring. De algebraïsche gehele getallen zijn bijvoorbeeld de complexe getallen die geheel zijn over de ring van de gehele getallen. De eigenschap geheel generaliseert enerzijds algebraïsche gehele getallen en anderzijds een algebraïsche uitbreiding van een commutatief lichaam (Ned) / veld (Be).

Een element ${\displaystyle b}$ van een commutatieve ring ${\displaystyle R}$ met neutraal element heet geheel of integraal over de deelring ${\displaystyle D}$ met eenheid van ${\displaystyle R}$ als er een polynoom

${\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$

is met coëfficiënten ${\displaystyle a_{i}}$ in ${\displaystyle D}$ en de coëfficiënt van de hoogste macht van ${\displaystyle x}$ gelijk aan 1 is, waarvan ${\displaystyle b}$ een nulpunt is, dus

${\displaystyle f(b)=0}$

De gehele afsluiting van ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle B}$ is de verzameling elementen van ${\displaystyle B}$ die geheel zijn over ${\displaystyle A}$. Men kan aantonen dat dit een deelring is van ${\displaystyle B}$.

De ring ${\displaystyle A}$ heet geheel gesloten in ${\displaystyle B}$ als ${\displaystyle A}$ gelijk is aan de gehele afsluiting ervan in ${\displaystyle B}$. De ring ${\displaystyle B}$ heet geheel gesloten over ${\displaystyle A}$ als al zijn elementen geheel zijn over ${\displaystyle A}$.

Als ${\displaystyle A}$ een integriteitsgebied is, dan heeft hij een breukenlichaam ${\displaystyle A_{0}}$. Een integriteitsgebied heet geheel gesloten, zonder meer, als het geheel gesloten is in zijn breukenlichaam.

• MF Atiyah en IG MacDonald. Introduction to Commutative Algebr, 1696. Inleiding tot de commutatieve algebra, Westview Press 1969, ISBN 0-201-40751-5.