Harmonische ligging

Van vier verschillende punten $A,B,S$ en $T$ die op één lijn liggen, zegt men dat de paren $(A,B)$ en $(S,T)$ harmonisch liggen ten opzichte van elkaar, als

{\frac {|AS|}{|BS|}}={\frac {|AT|}{|BT|}}

Daarin staat $|AB|$ voor de lengte van het lijnstuk $AB$ .

De punten $S$ en $T$ worden harmonische verwanten ten opzichte van of bij het puntenpaar $(A,B)$ genoemd, ook de punten $A,B$ scheiden de punten $S,T$ harmonisch. Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding $(A,B;S,T)$ van de punten gelijk is aan $-1$ .^[1]

Constructies

Gegeven zijn de punten $A,B$ en $S$ die op één lijn liggen. $S$ ligt in dit geval tussen $A$ en $B$ . Er worden hieronder twee constructies van het punt $T$ op de lijn $AB$ gegeven, zodat de puntenparen $(A,B)$ en $(S,T)$ elkaar harmonisch scheiden. Bij beide constructies wordt ook een correctheidsbewijs gegeven.

Eerste constructie

Constructiestappen^[2]

Punt = C \\ niet op de lijn AB
Lijn(C, A) ; Lijn(C, B) ; Lijn(C, S)
PuntOp(CS) = M
Lijn(A, M) ; Lijn(B, M)
Snijpunt(AM, BC) = F ; Snijpunt(BM, AC) = E
Lijn(E, F)
Snijpunt(EF, AB) = T

Dan is T het gevraagde punt.

Correctheid

De juistheid van deze constructie volgt uit de stelling van Ceva en die van Menelaos. Immers, daaruit blijkt opvolgend dat:

{\frac {|AS|}{|SB|}}\cdot {\frac {|BF|}{|FC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1

en dat:

{\frac {|AT|}{|BT|}}\cdot {\frac {|BF|}{|FC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1

Zodat

{\frac {|AS|}{|BS|}}={\frac {|AT|}{|BT|}}

.

Tweede constructie

Constructiestappen

Lijn(A, B) = g
Cirkel(AB) = k \\ AB is middellijn, M is middelpunt
Loodlijn(S, g) = l \\ loodlijn in S op g
Snijpunt(k, l) = Q
Lijnstuk(M, Q) = MQ
Loodlijn(Q, MQ) = t \\ raaklijn in Q aan k
Snijpunt(t, g) = T

Dan is T de harmonisch verwante van S bij het puntenpaar (A, B).

Correctheid

Met $MA=MB=MQ=r,MS=p,TS=q$ is dan:

{\frac {|AS|}{|BS|}}\cdot {\frac {|BT|}{|AT|}}={\frac {r+p}{r-p}}\cdot {\frac {p+q-r}{p+q+r}}

Rekening houdend met de relatie $r^{2}=p(p+q)=p^{2}+pq$ , die geldt in de rechthoekige driehoek $MTQ$ , leidt dit tot:

{\frac {|AS|}{|BS|}}\cdot {\frac {|BT|}{|AT|}}={\frac {pr+qr-pr}{pr+qr-pr}}=1

, zodat ook hier

{\frac {|AS|}{|BS|}}={\frac {|AT|}{|BT|}}

.

Relatie met het harmonisch gemiddelde

$|AB|$ is het harmonische gemiddelde van $|AS|$ en $|AT|$ .

Bewijs

Omdat de dubbelverhouding $(A,B;S,T)=-1$ , volgt dat

|AS|\cdot |BT|-|AT|\cdot |BS|=0

zodat

|AS|\cdot (|AB|-|AT|)+|AT|\cdot (|AB|-|AS|)=0

of:

|AS|\cdot |AB|+|AT|\cdot |AB|=2|AT|\cdot |AS|

Dus is

{\frac {1}{|AS|}}+{\frac {1}{|AT|}}={\frac {2}{|AB|}}

,

wat inhoudt dat

|AB|

het harmonisch gemiddelde is van

|AS|

en

|AT|

.

Midden van het eerste lijnstuk

Als $(A,B)$ en $(S,T)$ harmonisch liggen en $M$ het midden is van $AB$ , dan geldt

|MB|^{2}=|MS|\cdot |MT|\quad

en

|MS|\cdot |ST|=|AS|\cdot |SB|

Harmonische ligging van lijnen

Daar het begrip dubbelverhouding ook gedefinieerd is voor een vierstraal kan men ook harmonische ligging van zo'n vierstraal definiëren. Een vierstraal is een geordend viertal lijnen, die in hetzelfde vlak liggen en door één punt gaan. De vierstraal $(a,b,c,d)$ is harmonisch als de dubbelverhouding $(abcd)$ ervan gelijk is aan −1.

Volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig.

De vierstraal $(a,b,c,d)$ is harmonisch.
De lijnen $c$ en $d$ liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen $a$ en $b$ .
Lijn $d$ is harmonisch toegevoegd aan lijn $c$ ten opzichte van de lijnen $a$ en $b$ .

Voorbeelden

De bissectrices van twee lijnen liggen harmonisch ten opzichte van die twee lijnen.
Twee diagonalen van een volledige vierhoek liggen harmonisch ten opzichte van de zijden door hun snijpunt
De poollijn van een punt $P$ , ten opzichte van de rechten $a$ en $b$ met snijpunt $S$ , is de lijn harmonisch toegevoegd aan de lijn $SP$ ten opzichte van de lijnen $a$ en $b$ .

literatuur

JH vd Hoeven. Planimetrie, 1964. blz 280–285, Utrecht, Het Spectrum
P Molenbroek. Leerboek der vlakke meetkunde, 1939. blz 416–443, Groningen, P. Noordhoff N.V.; .

voetnoten

↑ Bij de berekening van de dubbelverhouding worden gerichte lijnstukken gebruikt. De lengte van een lijnstuk wordt dan berekend uit de abscissen van de eindpunten in een op de lijn vastgelegd coördinatenstelsel. Zo is dan $AB=-BA$ .
↑ De constructiestappen zijn beschreven met functies van een dynamisch meetkundeprogramma. GeoGebra is een dynamisch meetkundeprogramma.

[1] Bij de berekening van de dubbelverhouding worden gerichte lijnstukken gebruikt. De lengte van een lijnstuk wordt dan berekend uit de abscissen van de eindpunten in een op de lijn vastgelegd coördinatenstelsel. Zo is dan $AB=-BA$ .

[2] De constructiestappen zijn beschreven met functies van een dynamisch meetkundeprogramma. GeoGebra is een dynamisch meetkundeprogramma.

[1]

[2]