Faculteit (wiskunde)

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000

De faculteit van een natuurlijk getal $n$ , genoteerd als $n!$ en uitgesproken als $n$ faculteit, is het product van de getallen $1$ tot en met $n$ . Een belangrijke toepassing van de faculteit is in de combinatoriek, als antwoord op de vraag op hoeveel manieren $n$ elementen kunnen worden gerangschikt. Zo'n rangschikking heet een permutatie en daarvan zijn er $n!$ . Met behulp van dit resultaat worden ook de aantallen variaties en combinaties afgeleid. De faculteitsfunctie groeit snel, op den duur zelfs sneller dan een exponentiële functie. De eerste waarden voor $n$ tot en met 20 staan hiernaast.

Definitie

De faculteit $n!$ van het natuurlijke getal $n$ is

n!=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n

Recursief geldt dus voor de faculteit:

n!=n(n-1)!

Voor bijvoorbeeld $n=5$ is:

5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120

Het is afgesproken dat

0!=1

Benaderingen

Formule van Stirling

Voor grote waarden van $n$ kan de faculteit van dat getal met de formule van Stirling worden benaderd:

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

De benadering is voor kleine waarden van $n$ onnauwkeurig, voor $n=1$ bijvoorbeeld is $1!=1$ , maar ${\sqrt {2\pi \cdot 1}}\ (1/e)^{1}=0{,}92214\ldots$

De formule wordt veel in de statistische natuurkunde toegepast, waar $n$ het aantal deeltjes is en het verschil tussen de echte waarde en de benadering met de formule van Stirling kan worden verwaarloosd. Onder staat een tabel met daarin voor een aantal waarden van $n$ , de waarde voor $n!$ en de benadering volgens Stirling.

Gammafunctie

De gammafunctie

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt

is voor gehele getallen de faculteit, maar dan één verschoven:

\Gamma (n+1)=n!

De gammafunctie is voor alle complexe getallen gedefinieerd, met uitzondering van de negatieve gehele getallen $-1,-2,-3,\ldots$ .

Tabel

$n$	$n!$	Stirling
10	3 628 800	3 598 695,624
20	0,24329 · 10¹⁹	0,2422 · 10¹⁹
30	0,26525 · 10³³	0,2645 · 10³³
40	0,8159 · 10⁴⁸	0,8142 · 10⁴⁸
50	0,3041 · 10⁶⁵	0,3036 · 10⁶⁵
100	0,9333 · 10¹⁵⁸	0,9325 · 10¹⁵⁸
1000	4,024 · 10²⁵⁶⁷	4,024 · 10²⁵⁶⁷
10 000	2,846 · 10^{35 659}	2,846 · 10^{35 659}

Algoritme

Het onderstaande algoritme geschreven in Python berekent van een ingevoerd getal de faculteit.

getal = int(input())
fac = getal
while (getal > 2):
    getal -= 1 #getal = getal -1
    fac *= getal #fac = fac * getal

print("De faculteit van het ingevoerde getal is: ",fac)

Variaties

Websites

rij A000142 in OEIS
H Hofstede. Faculteit-Formules.