Exponentiële afname

Een grootheid vertoont een exponentiële afname, indien de afname per tijdseenheid evenredig is met de waarde. Wiskundig houdt dat in dat de afgeleide naar de tijd van de grootheid evenredig is met de momentane waarde van de grootheid. De grootheid ${\displaystyle N}$ voldoet dus aan de differentiaalvergelijking:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}=-\lambda N}$

waarin de evenredigheidsfactor ${\displaystyle \lambda }$, de afnameconstante, een positief getal is.

De oplossing van deze vergelijking is:

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}}$

Daarin is ${\displaystyle N(t)}$ de waarde van de grootheid op het tijdstip ${\displaystyle t}$ en ${\displaystyle N_{0}=N(0)}$ de beginwaarde van de grootheid, dat wil zeggen de waarde op het tijdstip ${\displaystyle t=0}$. Merk op dat exponentiële afname in wezen hetzelfde is als exponentiële groei met een negatief groeipercentage, met steeds een negatieve procentuele verandering.

Getekende voorbeelden staan in de grafiek, waarbij de figuur exponentieel afneemt. Radioactief verval en het ontladen van een condensator via een weerstand zijn verschijnselen in de natuurkunde die met een exponentiële afname gaan, maar ook het dalen van de medicijnspiegel in het lichaam gaat met een exponentiële afname.

De reciproque ${\displaystyle 1/\lambda }$ van de afnameconstante ${\displaystyle \lambda }$ is de tijdsduur van een afname met een factor ${\displaystyle e}$. Deze geeft een typische tijdsschaal voor het afnameproces, die afhankelijk van het proces een eigen naam kan hebben. Bij instabiele deeltjes spreekt men van vervaltijd, bij instabiele atoomkernen gebruikt men de aan de vervaltijd gerelateerde halveringstijd.