Elliptische kromme

In de meetkunde zijn elliptische krommen een speciale soort algebraïsche krommen waarop een optelling is gedefinieerd. De naam is aan de ellips ontleend, maar het verband is alleen zijdelings en ellipsen zijn geen voorbeelden van elliptische krommen. Elliptische krommen spelen een rol bij de studie van elliptische functies die ontstaan uit de integralen waarmee de omtrek van delen van een ellips kan worden berekend. Elliptische krommen op zich zijn veel bestudeerd volgend op de kegelsneden. Ze hebben toepassingen gevonden in andere gebieden van de wiskunde en in het bijzonder in de getaltheorie. Elliptische krommen speelden in 1995 een essentiële rol in het bewijs van de laatste stelling van Fermat.

Definitie

Een elliptische kromme is de grafiek van een vergelijking van de vorm

y^{2}=f(x)

met $f$ een polynoom van de derde graad zonder samenvallende nulpunten van de vorm:

y^{2}=x^{3}+ax+b

Een elliptische kromme heeft een van de volgende twee vormen, naargelang $f$ drie reële nulpunten of maar één reëel nulpunt heeft:

Elliptische krommen worden meestal over het complexe vlak $\mathbb {C}$ beschouwd of zelfs over het complexe projectieve vlak $\mathbb {C} \mathbb {P}$ . In dat laatste geval komt er in de vergelijking de derde variabele $z$ bij:

y^{2}z=ax^{3}+bx^{2}z+cxz^{2}+dz^{3}

Over het complexe projectieve vlak zijn alle elliptische krommen topologisch met de torus gelijkwaardig, dus ook met elkaar.

Tweede definitie

Een elliptische kromme is het riemann-oppervlak dat ontstaat als quotiëntruimte van het complexe vlak over een rooster, een discrete ondergroep van de vorm

\Gamma =\mathbb {Z} a+\mathbb {Z} b,\ a,b\in \mathbb {C} ,\ a,b\neq 0,\ a/b\notin \mathbb {R}

Hoewel alle elliptische krommen topologisch gelijkwaardig zijn, zijn ze niet allemaal gelijkwaardig als riemann-oppervlak. Elke elliptische kromme is biholomorf, equivalent als riemann-oppervlak met een elliptische kromme waarvoor $a=1$ en waarvan het imaginaire deel van $b$ strikt positief is. Het verband met de eerste definitie wordt gegeven door de $\wp$ -functie van Weierstrass en de afgeleide daarvan. Dat is een dubbelperiodieke meromorfe functie op het complexe vlak met polen van de tweede orde in de punten van het rooster $\Gamma$ . Ze voldoet aan

\wp '(z)^{2}=\wp (z)^{3}+60G_{4}(\Gamma )\wp (z)+140G_{6}(\Gamma )

Hierin zijn de constanten $G_{2k}(\Gamma )$ ( $k=2,3$ ) de sommen van de Eisenstein-reeksen van het rooster.

Het geordende paar $(\wp ,\wp ')$ geeft de parametervergelijking van een complexe elliptische kromme. Omgekeerd blijkt elke complexe elliptische kromme afkomstig te zijn van de Weierstrass-functie van een rooster.

Groepsbewerking

Op een elliptische kromme bestaat een natuurlijke commutatieve groepsbewerking. Bij de tweede definitie is dit de factorgroep die ontstaat uit het optellen van complexe getallen. Bij de eerste definitie aan de hand van een polynoom heeft de groepsbewerking meetkundig de volgende vorm.

Omdat een elliptische kromme symmetrisch is ten opzichte van de $x$ -as, ligt van elk punt op de kromme ook het spiegelbeeld ten opzichte van de $x$ -as, de gespiegelde, op de kromme.

Een elliptische kromme in het complexe projectieve vlak snijdt de lijn op oneindig in één punt $\infty$ met als projectieve coördinaten $[0:1:0]$ . Dit punt vertegenwoordigt de richting evenwijdig aan de y-as.

Van twee verschillende punten $P$ en $Q$ op een elliptische kromme (in het complexe projectieve vlak) snijdt de lijn door $PQ$ de kromme in precies één derde punt $R$ . In het geval dat $P$ en $Q$ elkaars gespiegelde zijn, ligt dit punt op oneindig. De som $P+Q$ is gedefinieerd als de gespiegelde van dit derde punt $R$ .

Als $P$ en $Q$ samenvallen, neemt men voor $R$ het snijpunt van de raaklijn aan de kromme.

Als $P=\infty$ het punt op oneindig is, neemt men de lijn door $Q$ in de richting van $\infty$ als verbindingslijn.

Daarmee is duidelijk dat voor alle punten $P$ en $Q$ de som welgedefinieerd is als een punt $P+Q$ op de kromme en dat de optelling commutatief is: $P+Q=Q+P$ .

Voor alle punten $P$ geldt: $P+\infty =P$ , dus $\infty =0$ is het neutrale element.

Voor de gespiegelde $P'$ van een punt $P$ volgt $P+P'=0$ dus $-P=P'$ is de tegengestelde van $P$ . Voor het snijpunt $R$ van de lijn door $P$ en $Q$ met de kromme geldt dus: $R=-(P+Q)$ . Voor de drie snijpunten $P,\ Q,\ R$ van een lijn met de kromme geldt dus: $P+Q+R=0$

De associativiteit van de optelling is geen voor de hand liggende eigenschap. Het wordt in de figuur geïllustreerd. Met behulp van de stelling van Cayley-Bacharach kan het bewijs worden gegeven.

De drie punten $P$ , $Q$ en $R$ liggen op een elliptische kromme. De drie lijnen $M_{1}=0(P+Q),\,M_{2}=QR$ en $M_{3}=P(Q+R)$ , en de drie lijnen $L_{1}=PQ,\ L_{2}=R(P+Q)$ en $L_{3}=0(Q+R)$ hebben negen snijpunten:

M_{1}\cap L_{1}=-(P+Q)

M_{1}\cap L_{2}=P+Q

M_{1}\cap L_{3}=0

M_{2}\cap L_{1}=Q

M_{2}\cap L_{2}=R

M_{2}\cap L_{3}=-(Q+R)

M_{3}\cap L_{1}=P

M_{3}\cap L_{3}=Q+R

M_{3}\cap L_{2}

Daarvan liggen de eerste acht op de elliptische kromme. Maar dan ligt volgens de stelling ook het negende snijpunt, dat van $M_{3}$ en $L_{2}$ , op de kromme. Dus is $-P-(Q+R)=-R-(P+Q)$ , of anders geschreven: $(P+Q)+R=P+(Q+R)$ .

Een rationale elliptische kromme bestaat uit punten waarvan de projectieve coördinaten rationale getallen zijn, en voldoen aan een vergelijking zoals hierboven. De coëfficiënten van het derdegraadspolynoom moeten eveneens rationale getallen zijn.

Analytisch

Als de punten $P=(x_{P},y_{P})$ en $Q=(x_{Q},y_{Q})$ van elkaar verschillen en gegeven zijn in een $xy$ -assenstelsel, wordt de som $S=P+Q=(x_{S},y_{S})$ gegeven door:

x_{S}=r^{2}-(x_{P}+x_{Q})

y_{S}=-y_{P}+r(x_{P}-x_{S})

met

r={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}

de richtingscoëfficiënt van de lijn door $P$ en $Q$ .

Er geldt namelijk :

r={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}={\frac {-y_{S}-y_{Q}}{x_{S}-x_{Q}}}={\frac {-y_{S}-y_{P}}{x_{S}-x_{P}}}

dus:

-y_{S}=r(x_{S}-x_{P})+y_{P}

Verder is voor de kromme $C:y^{2}=x^{3}+px+q$

y_{S}^{2}=\left(r(x_{S}-x_{P})+y_{P}\right)^{2}=\left(r(x_{S}-x_{P})\right)^{2}+x_{P}^{3}+px_{P}+q+2r(x_{S}-x_{P})y_{P}

Ook is

x_{S}^{3}+px_{S}+q=y_{S}^{2}=\left(r(x_{S}-x_{P})\right)^{2}+x_{P}^{3}+px_{P}+q+2r(x_{S}-x_{P})y_{P}

x_{S}^{3}-x_{P}^{3}+p(x_{S}-x_{P})=\left(r(x_{S}-x_{P})\right)^{2}+2r(x_{S}-x_{P})y_{P}

x_{S}^{2}+x_{S}x_{P}+x_{P}^{2}+p=r^{2}(x_{S}-x_{P})+2ry_{P}

Analoog geldt:

x_{S}^{2}+x_{S}x_{Q}+x_{Q}^{2}+p=r^{2}(x_{S}-x_{Q})+2ry_{Q}

Aftrekken levert

x_{S}(x_{P}-x_{Q})+x_{P}^{2}-x_{Q}^{2}=-r(y_{P}-y_{Q})+2r(y_{P}-y_{Q})=r(y_{P}-y_{Q})

dus

x_{S}=r^{2}-(x_{P}+x_{Q})

Als $x_{P}=x_{Q}$ , is $r=\pm \infty$ en is $P+Q=0$ .

In het geval dat $P=Q$ en $y_{P}\neq 0$ , krijgt $r$ de waarde van de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in $P$ . Is $y_{P}=0$ dan is $P=-P$ en is de som het punt op oneindig (0).

Rationale elliptische kromme

De stelling van Mordell luidt dat een rationale elliptische kromme, opgevat als commutatieve groep, eindig voortgebracht is. Er bestaat dus een eindige deelverzameling van waaruit ieder willekeurig punt op de kromme door een eindig aantal sommen kan worden bereikt.

Endomorfismen

Omdat een elliptische kromme $C$ met de groepsbewerking 'optelling' een abelse groep is, vormen de endomorfismen een ring, aangeduid met $\mathrm {End} (C)$ of $\mathrm {End} _{C}$ . Deze ring kan drie vormen hebben (isomorf): de gehele getallen $\mathbb {Z}$ , een speciale deelring in een kwadratisch lichaam (Ned) / veld (Be) of in een quaternionen-algebra over $\mathbb {Q}$ .

De ring van elke elliptische kromme bevat $\mathbb {Z}$ als deelring. De endomorfismen in deze deelring worden daarom wel de triviale endomorfismen genoemd. Als er meer endomorfismen zijn zegt men dat de kromme complexe vermenigvuldiging heeft.

Als het lichaam/veld eindig is, zijn er altijd niet-triviale endomorfismen, afkomstig van het frobenius-endomorfisme. Al zulke krommen hebben dus een complexe vermenigvuldiging. Maar als het basislichaam/veld een getallenlichaam/veld is, is complexe vermenigvuldiging een uitzondering.

Literatuur

JH Silverman (1985). The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer Graduate Texts in Mathematics vol.106. ISBN 0-387-96203-4.
JS Milne (2006). Elliptic Curves. Booksurge Publishing. ISBN 1-4196-5257-5.
F Oort. Elliptische krommen en hun rol in de wiskunde, 2011. HOVO-cursus wiskunde Utrecht