Driehoeksongelijkheid

De driehoeksongelijkheid zegt dat een lijnstuk de kortste afstand tussen twee punten bepaalt. Gaat men via een omweg over het punt ${\displaystyle P}$ van het punt ${\displaystyle A}$ naar het punt ${\displaystyle B}$ dan is de afstand langer dan wanneer men direct over het lijnstuk ${\displaystyle l}$ van ${\displaystyle A}$ naar ${\displaystyle B}$ gaat. Als ${\displaystyle P}$ op ${\displaystyle l}$ ligt maakt het geen verschil.

Voor elk drietal punten ${\displaystyle A,B}$ en ${\displaystyle P}$ in een euclidische ruimte die niet op één lijn liggen, geldt, met ${\displaystyle \mathrm {|AB|} }$ de afstand tussen ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle \mathrm {|AB|<|AP|+|BP|} }$

Als ${\displaystyle A,B}$ en ${\displaystyle P}$ op één lijn liggen en ${\displaystyle P}$ tussen ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ ligt, geldt

${\displaystyle \mathrm {|AB|=|AP|+|BP|} }$

Eerste driehoeksongelijkheid

Voor een abstracte norm op een reële of complexe vectorruimte is de driehoeksongelijkheid een axioma:

${\displaystyle \|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|\leq \|\mathbf {x} \|+\|\mathbf {y} \|}$

voor alle vectoren ${\displaystyle \mathbf {x} }$ en ${\displaystyle \mathbf {y} }$.

Uit de ongelijkheid van Minkowski volgt dat de L^p-norm hieraan voldoet.

Dat deze vorm van de driehoeksongelijkheid overeenkomt met het axioma voor een afstand, blijkt uit het volgende:

De norm induceert een afstand ${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}$ die voldoet aan de driehoeksongelijkheid voor een afstand:

${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=|\mathbf {x} -\mathbf {y} |=|\mathbf {x} -\mathbf {z} +\mathbf {z} -\mathbf {y} |\leq |\mathbf {x} -\mathbf {z} |+|\mathbf {z} -\mathbf {y} |=d(\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+d(\mathbf {z} ,\mathbf {y} )}$

Als op een reële of complexe vectorruimte een inwendig product ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ is gegeven, wordt door de definitie

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$

een norm bepaald. Het bewijs dat dit voorschrift aan het axioma van de driehoeksongelijkheid voldoet, volgt uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.

${\displaystyle \langle \mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +2{\hbox{Re}}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +2{\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}{\sqrt {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}+\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle =\left({\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}+{\sqrt {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}\right)^{2}}$

Tweede, ook wel omgekeerde, driehoeksongelijkheid

Toepassen van de eerste driehoeksongelijkheid op ${\displaystyle \mathbf {u} =(\mathbf {u} -\mathbf {v} )+\mathbf {v} }$ geeft:

${\displaystyle \|(\mathbf {u} -\mathbf {v} )+\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|+\|\mathbf {v} \|}$

dus

${\displaystyle \|\mathbf {u} \|-\|\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|}$

Toepassen op ${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathbf {v} -\mathbf {u} )+\mathbf {u} }$ geeft bovendien:

${\displaystyle \|(\mathbf {v} -\mathbf {u} )+\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} -\mathbf {u} \|+\|\mathbf {u} \|}$

dus

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|-\|\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} -\mathbf {u} \|}$

maar dan ook:

${\displaystyle \|\mathbf {u} \|-\|\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {v} -\mathbf {u} \|}$

dus

${\displaystyle {\bigg |}\|\mathbf {u} \|-\|\mathbf {v} \|{\bigg |}\leq \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|}$

De algemene vorm van de driehoeksongelijkheid op een willekeurige verzameling ${\displaystyle V}$ geeft aanleiding tot het begrip pseudometriek. In wezen is een pseudometriek niets anders dan een verder niet nader bepaalde symmetrische afstandsfunctie die aan een driehoeksongelijkheid voldoet.