Driehoek van Sierpiński
De driehoek van Sierpiński is een fractal die door de Poolse wiskundige Wacław Sierpiński is bedacht. Uit een gelijkzijdige driehoek wordt de driehoek verwijderd die gevormd wordt door de middens van de drie zijden. Dit wordt daarna in elk van de drie overgebleven driehoeken herhaald en dat kan oneindig doorgaan. Het tapijt van Sierpiński wordt op een overeenkomende manier getekend met vierkanten.
Ontwikkeling van de driehoek van Sierpiński.
De hausdorff-dimensie van de driehoek van Sierpiński is
Als men in een driehoek van Pascal met rijen de even getallen wit en de oneven getallen zwart kleurt, is het resultaat de Sierpiński-driehoek. Om meer precies te zijn benadert de limiet van de driehoek van Pascal met rijen, wanneer deze volgens pariteit wordt gekleurd en tot oneindig nadert, de driehoek van Sierpiński.
De oppervlakte van een Sierpiński-driehoekin in de Lebesgue-maat is nul. De oppervlakte die overblijft na elke iteratie is altijd 3/4 van de oppervlakte van de vorige iteratie en een oneindig aantal iteraties resulteert daarom in een oppervlakte van nul. Men kan intuïtief inzien dat deze regel van toepassing is op elke meetkundige constructie met een oneindig aantal iteraties, die elk de grootte met een getal verminderen dat proportioneel is aan een vorige iteratie.
