Bloch-vector

In de kwantummechanica is een bloch-vector een meetkundige representatie van een pure kwantumtoestand van een 2-toestanden systeem. De naam is te danken aan Felix Bloch (1905–1983), Zwitsers-Amerikaans natuurkundige en winnaar van de Nobelprijs voor Natuurkunde in 1952.

Een mogelijke parametrisatie voor een algemene, complexe, twee-dimensionale, genormeerde toestandsvector is

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left(\theta /2\right)\\e^{i\phi }\sin \left(\theta /2\right)\end{pmatrix}},}$

waarbij ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ de hoek is met de positieve z-as en ${\displaystyle \phi \in [0,2\pi )}$ de hoek in het x,y-vlak met de positieve x-as (zie afbeelding hiernaast). Voor deze toestandsvector geldt expliciet dat deze genormeerd is: ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$, met andere woorden: elke bloch-vector heeft gezien vanuit het centrum van de bol een lengte gelijk aan 1. De bloch-vector is vervolgens gedefinieerd als de verwachtingswaarde van de pauli-matrices met betrekking tot deze toestandsvector: ${\displaystyle {\bf {x}}_{\text{Bloch}}=\langle \psi |{\bf {\sigma }}|\psi \rangle }$. Voor de parametrisatie hierboven volgt

${\displaystyle {\bf {x}}_{\text{Bloch}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi \\\cos \theta \end{pmatrix}}.}$ waarbij: ${\displaystyle \sin \theta \cos \phi \quad {\text{voor x,}}\quad \sin \theta \sin \phi \quad {\text{voor y en}}\quad \cos \theta \quad {\text{voor z.}}}$

Een qubit kan worden weergegeven als een vector in een tweedimensionale complexe Hilbertruimte. De Bloch-bol is vernoemd naar Felix Bloch, die het concept introduceerde in de context van kernmagnetische resonantie, vandaar de naam: Bloch-sphere of Bloch-bol. De toestanden ∣0⟩ en ∣1⟩ vormen daarbij een orthonormale basis van de tweedimensionale Hilbertruimte en kunnen worden geïnterpreteerd als de eigenstaten van de Pauli-${\displaystyle \sigma ^{z}}$-operator. Deze operator heeft de matrixrepresentatie:

${\displaystyle \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},}$

waarbij ∣0⟩ overeenkomt met de eigenwaarde +1 en ∣1⟩ met de eigenwaarde −1. In deze interpretatie beschrijven ∣0⟩ en ∣1⟩ respectievelijk de “spin-omhoog” en “spin-omlaag” toestanden langs de z-as.

Qubittoestanden zijn wiskundig equivalent aan de toestanden van een spin-½-deeltje.

${\displaystyle |\Psi \rangle =\cos {\frac {\theta }{2}}|0\rangle +e^{i\phi }\sin {\frac {\theta }{2}}|1\rangle }$

De coëfficiënten van |0⟩ en |1⟩ zijn cos(θ/2) en e^(iφ)sin(θ/2), zoals bepaald door normalisatie. Waarbij de globale fase een vorm van de identiteit van Euler is. de fasen (ket 0 en ket 1) vertellen ons dat:

${\displaystyle \psi =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle \quad {\text{en}}\quad \langle \psi |\psi \rangle =1=|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}}$

Verschillende qubittoestanden corresponderen met verschillende punten op de Bloch-bol. Dit visualiseert de XY-as-rotaties tussen ${\displaystyle \alpha }$ en ${\displaystyle \beta }$. ${\displaystyle \alpha =\beta ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad {\text{en met de fasen:}}\quad \psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle }$

${\displaystyle {\biggl (}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\biggr )}^{2}|0\rangle +{\biggl (}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\biggr )}^{2}={\frac {1}{2}}|0\rangle +{\frac {1}{2}}|1\rangle =1}$. De 4 basisrotaties zijn:

Voor x:

${\displaystyle |x_{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle |x_{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}}\right]}$

Voor y:

${\displaystyle |y_{+}\rangle =|+i\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\begin{matrix}1\\i\end{matrix}}\right]}$

${\displaystyle |y_{-}\rangle =|-i\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\begin{matrix}1\\-i\end{matrix}}\right]}$

gebruik c coëfficiënt: ${\displaystyle \psi =c_{1}|0\rangle +c_{2}|1\rangle }$

En c is een complex getal: ${\displaystyle \psi =(a_{1}+ib_{1})|0\rangle +(a_{2}+ib_{2})|1\rangle \;,\;a,\;b\in \mathbb {R} }$ En daarbij:

${\displaystyle c_{1}=e^{i\omega }\cos {\frac {\theta }{2}}}$

${\displaystyle c_{2}=e^{i(\phi +\omega )}\sin {\frac {\theta }{2}}=e^{i\omega }e^{i\phi }\sin {\frac {\theta }{2}}}$ Negeer ${\displaystyle e^{i\omega }}$. Dit is globale fase. Daarna houden we de termen ${\displaystyle \theta }$ en ${\displaystyle \phi }$ over: ${\displaystyle |\Psi \rangle =\cos {\frac {\theta }{2}}|0\rangle +e^{i\phi }\sin {\frac {\theta }{2}}|1\rangle }$

de globale fase is fysisch niet te meten; bij alle fysische waarschijnlijkheden komen we altijd uit op 1:

${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |^{2}}$ Zet de fase voor een volledige toestand: ${\displaystyle |\psi '\rangle =e^{i\gamma }|\psi \rangle }$ en ${\displaystyle \gamma }$ si hier de fase hoek. dan geldt:

${\displaystyle \langle \phi |\psi '\rangle =e^{i\gamma }\langle \phi |\psi \rangle }$ door de probabiliteit: ${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |^{2}=|e^{i\gamma }\langle \phi |\psi \rangle |^{2}}$. ${\displaystyle e^{i\gamma }}$ verwijst naar de identiteit van Euler.

${\displaystyle e^{i\gamma }=cos(\gamma )+i\sin(\gamma )}$

${\displaystyle |e^{i\gamma }|={\sqrt {\cos(\gamma )+i\sin(\gamma )}}={\sqrt {1}}=1}$

${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |^{2}=|e^{i\gamma }\langle \phi |\psi \rangle |^{2}=|1\cdot \langle \phi |\psi \rangle |^{2}=|\langle \phi |\psi \rangle |^{2}}$ ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$ kan niet worden gemeten als een complex getal in één keer. Met een enkel experiment is er alleen een 0 of 1 resultaat (projectie) namelijk: ${\displaystyle \langle 0|\psi \rangle \;{\text{en}}\;\langle 1|\psi \rangle }$. noteer nu twee andere staten:

${\displaystyle |\Psi \rangle =e^{i\phi _{1}}|\psi _{1}\rangle +e^{i\phi _{2}}|\psi _{2}\rangle }$. waarbij de relatieve fase: ${\displaystyle e^{i\phi _{2}}}$, en de globale fase: ${\displaystyle e^{i\phi _{1}}}$. Factoriseer de globale fase. Zet daarvoor: ${\displaystyle e^{i\phi _{1}}}$ in de macht: ${\displaystyle e^{i\phi _{2}}}$.

${\displaystyle e^{i\phi _{1}}\cdot e^{i(\phi _{2}-\phi _{1})}=e^{i\phi _{1}+i(\phi _{2}-\phi _{1})}}$. Een gemeenschappelijke fasefactor kan altijd worden uitgefactoriseerd en heeft geen fysische betekenis: ${\displaystyle |\Psi \rangle =e^{i\phi _{1}}\cdot |\psi _{1}\rangle +e^{i(\phi _{1}-\phi _{2})}|\psi _{2}\rangle }$. ${\displaystyle |\Psi \rangle =|\psi _{1}\rangle +e^{i\phi _{2}}|\psi _{2}\rangle }$ Dit is de relatieve fase. Noteer de staat nu als: ${\displaystyle |\psi \rangle =r_{a}|0\rangle +r_{b}e^{i\phi }|1\rangle }$. Hieruit komen de coördinaten voor de bloch-bol representatie: ${\displaystyle |\Psi \rangle =\cos {\frac {\theta }{2}}|0\rangle +e^{i\phi }\sin {\frac {\theta }{2}}|1\rangle }$. Hiervoor is de normalisatie conditie voor nodig. ${\displaystyle |r_{a}|^{2}+|r_{b}e^{i\phi }|^{2}}$. Bekijk eerst de rechter normalisatie van de optelling: bij ${\displaystyle e^{i\phi }}$.

${\displaystyle e^{i\phi }=\cos(\phi )+i\sin(\phi )}$ en: ${\displaystyle {\begin{cases}x=r_{b}\cos(\phi )\\y=r_{b}\sin(\phi )\end{cases}}}$ ${\displaystyle r_{b}e^{i\phi }=x+iy}$

Dat betekent wel dat ${\displaystyle r_{a}}$ identiek is aan ${\displaystyle z}$: ${\displaystyle |r_{a}|^{2}+|x+iy|^{2}=r_{a}^{2}+(x+iy)(x+iy)=r_{a}^{2}+x^{2}+y^{2}}$ voeg nu de hoeken van de polaire assen in de Bloch-bol toe: ${\displaystyle {\begin{cases}x=\sin \theta \cos \phi \\y=\sin \theta \sin \phi \\z=\cos \theta \end{cases}}}$ Invoegen: ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \theta |0\rangle +\sin \theta (\cos \phi +i\sin \phi )|1\rangle =\cos |0\rangle +e^{i\phi }\sin \theta |1\rangle }$ Het optreden van de halve poolhoek θ/2 is geen gevolg van normalisatie, maar heeft een wiskundige oorsprong. Qubit-toestanden transformeren onder rotaties volgens de groep SU(2), terwijl de Bloch-bol zelf een ruimtelijke bol (SO(3)) voorstelt. De groep SU(2) is een dubbele bedekking van SO(3), wat betekent dat een volledige ruimtelijke rotatie van 2π overeenkomt met een faseverandering van −1 in de qubittoestand.

Door deze relatie tussen SU(2) en SO(3) worden rotaties van qubittoestanden beschreven met een halve hoek. Dit leidt er direct toe dat de coëfficiënten van ∣0⟩ en ∣1⟩ afhangen van cos(θ/2) en sin(θ/2) in plaats van cos(θ).