Bézierkromme

De bézierkromme van de graad een, bepaald door de twee punten ${\displaystyle P_{0}}$ en ${\displaystyle P_{1},}$ is het verbindende lijnstuk tussen deze twee punten:

${\displaystyle B(t)=(1-t)P_{0}+tP_{1}}$ met ${\displaystyle t\in [0,1]}$

De bézierkromme van de graad twee, bepaald door de drie punten ${\displaystyle P_{0},P_{1}}$ en ${\displaystyle P_{2}}$, is de kromme:

${\displaystyle B(t)=(1-t)^{2}P_{0}+2t(1-t)P_{1}+t^{2}P_{2}}$ met ${\displaystyle t\in [0,1]}$

De kromme ligt in het vlak door de gegeven drie punten. De drie punten uitgedrukt in coödinaten in dit vlak zijn:

${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$

De vergelijking van de betreffende bézierkromme is uitgeschreven

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}(y_{0}+y_{2}-2y_{1})^{2}\ +}$

${\displaystyle (y-y_{0})^{2}(x_{0}+x_{2}-2x_{1})^{2}\ -}$

${\displaystyle 2(x-x_{0})(y-y_{0})(y_{0}+y_{2}-2y_{1})(x_{0}+x_{2}-2x_{1})\ +}$

${\displaystyle 4[(x-x_{0})(y_{1}-y_{0})-(y-y_{0})(x_{1}-x_{0})]\ *}$

${\displaystyle [(x_{1}-x_{0})(y_{0}+y_{2}-2y_{1})-(y_{1}-y_{0})(x_{0}+x_{2}-2x_{1})]}$

${\displaystyle =0}$

De kromme ligt ook in drie dimensies in het vlak door de gegeven drie punten, die zijn gegeven door ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$. De vergelijkingen voor de kromme kunnen ook daarvoor worden opgesteld, maar zijn nogal wijdlopig.

De bézierkromme van graad drie, opgebouwd uit de vier punten ${\displaystyle P_{0},\ P_{1},\ P_{2}}$ en ${\displaystyle P_{3}}$, die in een vlak of in de ruimte liggen, is:

${\displaystyle B(t)=(1-t)^{3}P_{0}+3t(1-t)^{2}P_{1}+3t^{2}(1-t)P_{2}+t^{3}P_{3}}$ met ${\displaystyle t\in [0,1]}$