Algebraïsche onafhankelijkheid

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, noemt men de elementen ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in L}$ van een lichaams-/velduitbreiding ${\displaystyle L}$ van een lichaam/veld ${\displaystyle K}$ algebraïsch afhankelijk over ${\displaystyle K}$, als zij het nulpunt zijn van een polynoom met hele coëfficiënten in ${\displaystyle K}$. Is zo'n polynoom er niet dan heten de elementen algebraïsch onafhankelijk over ${\displaystyle K}$. Een eindige deelverzameling ${\displaystyle S\subseteq L}$ noemt men algebraïsch afhankelijk over ${\displaystyle K}$, als de elementen van ${\displaystyle S}$ algebraïsch afhankelijk zijn over ${\displaystyle K}$ en algebraïsch onafhankelijk over ${\displaystyle K}$ als ze algebraïsch onafhankelijk zijn.

Het is niet bekend of ${\displaystyle \pi }$ en ${\displaystyle e}$ algebraïsch onafhankelijk zijn. Yuri Valentinovich Nesterenko heeft in 1996 verschillende voorbeelden bewezen:

• ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle e^{\pi }}$ en Γ(1/4) zijn algebraïsch onafhankelijk over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {3}}}}$ en Γ(1/3) zijn algebraïsch onafhankelijk over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• De getallen ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ zijn voor alle positieve hele getallen ${\displaystyle n}$ algebraïsch onafhankelijk over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

• MathWorld. Algebraically Independent.